Forneça a solução geral da Equação Diferencial de Riccati abaixo, sabendo que
é uma solução (particular) conhecida para tal equação.
Passo 1
Temos a equação de Riccati
e sabemos uma solução particular
Para achar a solução geral, usamos a transformação típica de Riccati
Passo 2
Primeiro escrevemos a equação na forma
Como
substituindo nessa forma e usando que
satisfaz a equação, obtemos após simplificar uma equação para
.
Passo 3
A equação que sobra para
é linear de primeira ordem:
Passo 4
Resolvendo por fator integrante
, multiplicamos por
:
Integrando,
Passo 5
Voltando a
:
Se definirmos uma constante arbitrária
, fica mais simples:
com
constante de integração.
Resposta
onde
é a constante de integração.