Forneça a solução geral da Equação Diferencial de Riccati abaixo, sabendo que y1(x)=1x é uma solução (particular) conhecida para tal equação.
d yd x+yx=y^2-1x^2

Passo 1

Temos a equação de Riccati
dydx + yx = y^2 - 1x^2,
e sabemos uma solução particular
y1(x)=1x
Para achar a solução geral, usamos a transformação típica de Riccati
y(x)=y1(x)+1u(x) =1x+1u,

Passo 2

Primeiro escrevemos a equação na forma
dydx=y^2-yx-1x^2
Como
y=1x+1u, dydx=-1x^2-1u^2dudx,
substituindo nessa forma e usando que 1x satisfaz a equação, obtemos após simplificar uma equação para u.

Passo 3

A equação que sobra para u(x) é linear de primeira ordem:
dudx+1x,u=-1

Passo 4

Resolvendo por fator integrante mu(x)=exp!l(integral1xdxr)=x, multiplicamos por x:
xdudx+u=-x Longrightarrow ddxl(xur)=-x
Integrando,
xu=-x^22+C Longrightarrow u=-x2+Cx

Passo 5

Voltando a y:
y=1x+1u =1x+1-tfracx2+tfracCx =1x+x-tfracx^22+C =1x-2xx^2-2C
Se definirmos uma constante arbitrária K=-2C, fica mais simples:
y(x)=1x-2xx^2+K,
com K constante de integração.

Resposta

boxed y(x)=1x-2xx^2+C,
onde C é a constante de integração.

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