Determine m para que:
(d) x^2+(m+1) x+m>0, forall x in R

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de minR tais que a inequação
x^2 + (m+1)x + m > 0
seja verdadeira para todo xinR. Isso é um problema sobre determinação de parâmetros que tornam uma função quadrática sempre positiva.

Passo 2

Para que uma função quadrática
f(x)=ax^2+bx+c
seja estritamente positiva para todo xinR, é necessário e suficiente que
  1. a>0, e
  2. o discriminante De<a = b^2-4ac seja negativo ( De<a<0), garantindo que não haja raízes reais.

Passo 3

No nosso caso a=1, b=m+1 e c=m. Temos então
De<a = (m+1)^2 - 4cdot1cdot m = m^2+2m+1 - 4m = m^2 - 2m +1 = (m-1)^2

Passo 4

Observamos que (m-1)^2>=0 para todo m, e (m-1)^2=0 só em m=1. Logo não existe m real que torne De<a<0. O caso m=1 faz De<a=0, e a função é f(x)=(x+1)^2, que atinge zero em x=-1, violando a desigualdade estrita.

Resposta

Não existe valor real de m que satisfaça
x^2 + (m+1)x + m > 0, forall xinR

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