Determine d fd x(x)=f^prime(x), se:
f(x)=l5-x^2, se x <= 2 x, se 2<x<4 x+1, se x >= 4

Passo 1

O enunciado define uma função por partes
f(x)= 5 - x^2, & x <= 2, x, & 2 < x < 4, x + 1, & x >= 4,
e pede f'(x). O conteúdo aqui é derivação de funções elementares em cada ramo e checagem de existência de derivada nos pontos de troca de fórmula.

Passo 2

Para x<2 estamos no ramo f(x)=5 - x^2. Aplicando a regra da potência,
f'(x) = ddx(5) - ddx(x^2) = 0 - 2x = -2x

Passo 3

Para 2<x<4 temos f(x)=x. A derivada de x é
f'(x) = 1

Passo 4

Para x>4 temos f(x)=x+1. Como a derivada de x é 1 e de constante é 0,
f'(x) = 1

Passo 5

Agora verificamos os pontos de junção:
– Em x=2:
f(2^-)=5-2^2=1,
f(2)=5-2^2=1,
f(2^+)=2.
Há salto de 1 para 2, logo f não é contínua em x=2 e, portanto, não é diferenciável ali.
– Em x=4:
f(4^-)=4,
f(4)=4+1=5.
Também há descontinuidade em x=4, então f'(4) não existe.

Resposta

f'(x)= -2x, & x<2, 1, & 2<x<4, 1, & x>4,
em x=2 e x=4 a derivada não existe.

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