Mostre que a sequência (an) dada por an=(-3)^nn! converge a zero (Utilize o Teorema do confronto).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência
an = (-3)^nn!
converge a zero. O conteúdo principal é usar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem), comparando lvert anrvert com uma sequência que tende a zero.

Passo 2

Começamos tomando o valor absoluto de an, pois isso nos permite usar comparações positivas:
lvert anrvert = lvert(-3)^nrvertn! = 3^nn!

Passo 3

Para aplicar o Teorema do Confronto, precisamos de uma sequência superior (cn) que tenda a zero. Note que, para n>=7, todos os fatores de n! a partir de 7 são pelo menos 4. Logo,
n! = 1cdot2cdot3cdot4cdot5cdot6cdot7cdot8cdots n ;>=; 7!,underbrace4cdot4cdotcdotscdot4(n-6) vezes = 7!,4^,n-6

Passo 4

Com essa desigualdade no denominador, obtemos para n>=7:
lvert anrvert = 3^nn! ;<=; 3^n7!,4^,n-6 = 3^67!,gl(34gr)^n-6
Defina
cn = 3^67!,gl(34gr)^n-6
Então 0 <= lvert anrvert <= cn para todo n>=7.

Passo 5

Observe que 3^67! é constante e
limntoinftygl(34gr)^n-6 = 0
porque 0<tfrac34<1. Logo
limntoinftycn = 0

Passo 6

Aplicando o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) em
0 ;<=; lvert anrvert ;<=; cn,
como lim cn=0, segue que
limntoinftylvert anrvert = 0
E, portanto,
limntoinftyan = 0

Resposta

limntoinfty(-3)^nn!=0.

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