Determine d fd x(x)=f^prime(x), se:
f(x)=sen x+cos xsen x-cos x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=sin x+cos xsin x-cos x. O conteúdo envolvido é a regra do quociente para derivadas e a identidade trigonométrica sin^2x+cos^2x=1.

Passo 2

Definimos
u(x)=sin x+cos x
v(x)=sin x-cos x
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u'(x)=cos x-sin x
v'(x)=cos x+sin x.
Pela regra do quociente:
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 3

Calculamos os produtos no numerador:
u'(x),v(x)=(cos x-sin x)(sin x-cos x) =2sin xcos x-1,
u(x),v'(x)=(sin x+cos x)(cos x+sin x) =2sin xcos x+1
Subtraindo:
(2sin xcos x-1)-(2sin xcos x+1)=-2

Passo 4

O denominador é (sin x-cos x)^2. Portanto,
f'(x)=-2(sin x-cos x)^2

Resposta

f'(x)=-2(sin x-cos x)^2

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