Questão 1. Verifique se o ponto P0(4,1,-1) pertence a reta r: P=(1,0,1)+t(2,1,1), t in R.

Passo 1

Entendendo o Problema
Vamos verificar se o ponto P0(4,1,-1) está na reta r definida por P = (1,0,1) + t(2,1,1) , onde t é um número real. Para isso, precisamos entender que uma reta no espaço é determinada por um ponto inicial e um vetor diretor. Aqui, o ponto inicial é (1,0,1) e o vetor diretor é (2,1,1) . Nosso objetivo é encontrar se existe algum valor de t que faça com que as coordenadas de P coincidam com as de P0 .

Passo 2

Igualando as Coordenadas
A reta [r) pode ser representada pelas seguintes equações paramétricas:
Queremos saber se .

Passo 3

Resolvendo para t nas Equações
Vamos igualar as coordenadas de P0 com as da reta:
  1. Para x :
4 = 1 + 2t 2t = 4 - 1 2t = 3 t = 32
  1. Para y :
1 = 0 + t t = 1
  1. Para z :
-1 = 1 + t t = -1 -1 t = -2

Passo 4

Verificando a Consistência dos Valores de t
Observamos que para cada coordenada, o valor de t é diferente:
  • De x : t = 32
  • De y : t = 1
  • De z : t = -2
Para que o ponto P0 esteja na reta r , todos os valores de t devem ser iguais. Como isso não acontece, concluímos que não existe um único valor de t que satisfaça todas as três equações simultaneamente.

Resposta

O ponto P0(4,1,-1) não pertence à reta r: P = (1,0,1) + t(2,1,1) .

Exercícios relacionados