(Leithold página 980) Determine o gradiente da função a seguir e a taxa de variação dos valores funcionais da f em ( p ), por unidade de variação na direção do vetor u, isto é, D_{u} f(p) ou f_{u}(p).
(a) f(x, y)=e^{2 x y}, p=(2,1) e u=\frac{4}{5} i-\frac{3}{5} j.
(b) f(x, y, z)=y^{2}+z^{2}-4 x y, p=(-2,1,3) e u=\frac{2}{7} i-\frac{6}{7} j+\frac{3}{7} k.
(c) Prove que f_{u}(x, y)=\nabla f(x, y) u^{T}. Aqui, u^{T} é o vetor transposto de u.
(d) Prove que a direção e sentido em que uma função f de n variáveis tem a taxa mínima de variação, é a contrária ao gradiente da $f.

Passo 1

O enunciado pede para os itens (a) e (b) encontrarmos o gradiente de f e, em seguida, calcular a derivada direcional em p na direção do vetor unitário u. Nos itens (c) e (d) queremos provar, respectivamente, que D_{u}f(x,y)=\nabla f(x,y)\,u^{T} e que a direção de variação mínima de f é a oposta ao seu gradiente. O conteúdo usado será cálculo de derivadas parciais, gradiente, derivada direcional e a interpretação geométrica do produto escalar.

Passo 2

Para (a), f(x,y)=e^{2xy}. Calculamos as derivadas parciais:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}e^{2xy}=2y\,e^{2xy}, \qquad f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}e^{2xy}=2x\,e^{2xy}.
Logo,
\nabla f(x,y)=(2y\,e^{2xy},\;2x\,e^{2xy})
e em p=(2,1) tem-se
\nabla f(2,1)=(2\cdot1\,e^{4},\;2\cdot2\,e^{4})=(2e^{4},\,4e^{4}).

Passo 3

Ainda em (a), a derivada direcional em p na direção u=(4/5,-3/5) é
D_{u}f(2,1)=\nabla f(2,1)\cdot u =(2e^{4},4e^{4})\cdot\Bigl(\tfrac{4}{5},-\tfrac{3}{5}\Bigr) =\frac{8e^{4}-12e^{4}}{5}=-\frac{4e^{4}}{5}.

Passo 4

Para (b), f(x,y,z)=y^{2}+z^{2}-4xy. As parciais são
f_x=-4y,\quad f_y=2y-4x,\quad f_z=2z.
Assim
\nabla f(x,y,z)=(-4y,\;2y-4x,\;2z)
e em p=(-2,1,3):
\nabla f(-2,1,3)=(-4\cdot1,\;2\cdot1-4\cdot(-2),\;2\cdot3)=(-4,10,6).

Passo 5

Ainda em (b), com u=(2/7,-6/7,3/7), tem-se
D_{u}f(-2,1,3) =\nabla f(-2,1,3)\cdot u =(-4,10,6)\cdot\Bigl(\tfrac{2}{7},-\tfrac{6}{7},\tfrac{3}{7}\Bigr) =\frac{-8-60+18}{7}=-\frac{50}{7}.

Passo 6

Para (c), definimos g(t)=f\bigl(x+u_1t,\;y+u_2t\bigr). Pela regra da cadeia,
g'(t)=f_x(x+u_1t,y+u_2t)\,u_1+f_y(x+u_1t,y+u_2t)\,u_2.
Em t=0 isto dá
D_{u}f(x,y)=g'(0)=f_x(x,y)\,u_1+f_y(x,y)\,u_2 =\nabla f(x,y)\cdot u^{T}.

Passo 7

Para (d), se u é unitário então
D_{u}f(x)=\nabla f(x)\cdot u=\|\nabla f(x)\|\;\|u\|\cos\theta =\|\nabla f(x)\|\cos\theta.
Esse valor é mínimo quando \cos\theta=-1, ou seja, \theta=\pi e u aponta na direção oposta a \nabla f(x).

Resposta

(a) \nabla f(x,y) = (2y\,e^{2xy}, 2x\,e^{2xy}), em p = (2,1) vale \nabla f(2,1) = (2e^4, 4e^4) e
D_{u}f(2,1) = -\tfrac{4e^4}{5}.
(b) \nabla f(x,y,z) = (-4y, 2y - 4x, 2z), em p = (-2,1,3) vale \nabla f(-2,1,3) = (-4, 10, 6) e
D_{u}f(-2,1,3) = -\tfrac{50}{7}.
(c) Provado que
D_{u}f(x,y) = \nabla f(x,y)\,u^{T}.
(d) A variação mínima D_{u}f = \|\nabla f\| \cos\theta ocorre quando \cos\theta = -1, i.e.\ u é oposto a \nabla f.

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