(Leithold página 980) Determine o gradiente da função a seguir e a taxa de variação dos valores funcionais da
em (
), por unidade de variação na direção do vetor
, isto é,
ou
.
(a)
e
.
(b)
e
.
(c) Prove que
. Aqui,
é o vetor transposto de
.
(d) Prove que a direção e sentido em que uma função
de
variáveis tem a taxa mínima de variação, é a contrária ao gradiente da $f.
(a)
(b)
(c) Prove que
(d) Prove que a direção e sentido em que uma função
Passo 1
O enunciado pede para os itens (a) e (b) encontrarmos o gradiente de
e, em seguida, calcular a derivada direcional em
na direção do vetor unitário
. Nos itens (c) e (d) queremos provar, respectivamente, que
e que a direção de variação mínima de
é a oposta ao seu gradiente. O conteúdo usado será cálculo de derivadas parciais, gradiente, derivada direcional e a interpretação geométrica do produto escalar.
Passo 2
Para (a),
. Calculamos as derivadas parciais:
Logo,
e em
tem-se
Passo 3
Ainda em (a), a derivada direcional em
na direção
é
Passo 4
Para (b),
. As parciais são
Assim
e em
:
Passo 5
Ainda em (b), com
, tem-se
Passo 6
Para (c), definimos
. Pela regra da cadeia,
Em
isto dá
Passo 7
Para (d), se
é unitário então
Esse valor é mínimo quando
, ou seja,
e
aponta na direção oposta a
.
Resposta
(a)
, em
vale
e
(b)
, em
vale
e
(c) Provado que
(d) A variação mínima
ocorre quando
, i.e.\
é oposto a
.