Determine d s / d t
s=\operatorname{tg}(t)-t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada \frac{ds}{dt} da função
s = \tan(t) - t.
Para isso vamos usar a regra de derivada da diferença e a derivada da função tangente.

Passo 2

Aplicamos a derivada termo a termo, ou seja,
\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(\tan(t)\bigr) \;-\;\frac{d}{dt}\bigl(t\bigr).

Passo 3

Sabemos que
\frac{d}{dt}\bigl(\tan(t)\bigr) = \operatorname{sec}^2(t)
e
\frac{d}{dt}\bigl(t\bigr) = 1.
Logo,
\frac{ds}{dt} = \operatorname{sec}^2(t) - 1.

Passo 4

Podemos usar a identidade trigonométrica
\operatorname{sec}^2(t) - 1 = \tan^2(t)
para reescrever a derivada de forma alternativa:
\frac{ds}{dt} = \tan^2(t).

Resposta

\frac{ds}{dt} = \operatorname{sec}^2(t) - 1
ou, de forma equivalente,
\frac{ds}{dt} = \tan^2(t).

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