Encontre a transformada de Laplace da função dada.
f(t)= \begin{cases}0, & t<\pi \\\ t-\pi, & \pi \leq t<2 \pi \\\\ 0, & t \geq \pi\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)= \begin{cases} 0, & t<\pi,\\\ t-\pi, & \pi\le t<2\pi,\\\\ 0, & t\ge2\pi. \end{cases}
O conteúdo principal é a definição
\mathcal L\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt
e a propriedade de mudança de origem (função em rampa truncada).

Passo 2

Podemos escrever
f(t)=(t-\pi)\bigl[u(t-\pi)-u(t-2\pi)\bigr],
onde u(t) é a função de Heaviside. Então
\mathcal L\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}(t-\pi)\bigl[u(t-\pi)-u(t-2\pi)\bigr]e^{-st}\,dt =\int_{\pi}^{2\pi}(t-\pi)e^{-st}\,dt.

Passo 3

Fazendo a mudança de variável \tau=t-\pi, quando t vai de \pi a 2\pi, \tau vai de 0 a \pi. Logo
\mathcal L\{f\}(s) =\int_{\pi}^{2\pi}(t-\pi)e^{-st}\,dt =e^{-\pi s}\int_{0}^{\pi}\tau\,e^{-s\tau}\,d\tau.

Passo 4

Calculamos por partes
\int_{0}^{\pi}\tau e^{-s\tau}\,d\tau =\Bigl[-\frac{\tau e^{-s\tau}}{s}\Bigr]_{0}^{\pi} +\frac{1}{s}\int_{0}^{\pi}e^{-s\tau}\,d\tau =-\frac{\pi e^{-\pi s}}{s}+\frac{1-e^{-\pi s}}{s^{2}}.
Reagrupando,
\int_{0}^{\pi}\tau e^{-s\tau}\,d\tau =\frac{1 - e^{-\pi s}(1+\pi s)}{s^{2}}.

Passo 5

Substituindo de volta em \mathcal L\{f\}(s)=e^{-\pi s}\!\int_{0}^{\pi}\tau e^{-s\tau}d\tau, obtemos
\mathcal L\{f\}(s) =e^{-\pi s}\,\frac{1 - e^{-\pi s}(1+\pi s)}{s^{2}}.

Resposta

\boxed{\mathcal L\{f\}(s) =\frac{e^{-\pi s}\bigl[1 - e^{-\pi s}(1+\pi s)\bigr]}{s^{2}}.}

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