Determine d^2y / dx^2 nas equações a seguir:
e) 2 * raiz(y) = x - y

Passo 1

Beleza, a gente tem a equação e o objetivo é encontrar a segunda derivada de em relação a , que é . Para isso, vamos usar o conteúdo de derivação implícita, que é útil quando está misturado com na equação e não é fácil isolar .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que quando derivamos termos com , usamos a regra da cadeia, ou seja, multiplicamos pela derivada de em relação a , que é .
Derivando a equação:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é 1.
  • A derivada de é .
Então, temos:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Para isso, vamos derivar em relação a :
Vamos usar a regra do quociente, que diz que a derivada de é , onde e .

Passo 6

Calculando as derivadas de e :
Substituindo na regra do quociente:

Passo 7

Simplificando a expressão:

Passo 8

Substituindo na expressão:

Resposta

A segunda derivada é:

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