Determine
nas equações a seguir:
e)
e)
Passo 1
Beleza, a gente tem a equação
e o objetivo é encontrar a segunda derivada de
em relação a
, que é
. Para isso, vamos usar o conteúdo de derivação implícita, que é útil quando
está misturado com
na equação e não é fácil isolar
.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que quando derivamos termos com
, usamos a regra da cadeia, ou seja, multiplicamos pela derivada de
em relação a
, que é
.
Derivando a equação:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas:
- A derivada de
é . - A derivada de
é 1. - A derivada de
é .
Então, temos:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Para isso, vamos derivar
em relação a
:
Vamos usar a regra do quociente, que diz que a derivada de
é
, onde
e
.
Passo 6
Calculando as derivadas de
e
:
Substituindo na regra do quociente:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Passo 8
Substituindo
na expressão:
Resposta
A segunda derivada é: