Determine as derivadas de segunda ordem:
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a segunda derivada da função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente de derivadas compostas. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia e a regra do produto para derivar funções mais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. Aqui, temos uma função composta, então vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta
é
, onde
.
Então:
Agora, precisamos derivar
, que é um produto de duas funções:
e
. Para isso, usamos a regra do produto, que diz que
.
Derivando
:
Portanto, a primeira derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
derivando
. Temos:
Para derivar isso, vamos aplicar novamente a regra do produto, já que temos o produto de
e
.
Seja
e
. Então:
Primeiro, vamos encontrar
. Usando a regra da cadeia:
Agora, vamos encontrar
. Derivando
, aplicamos a regra do produto novamente:
Calculando as derivadas:
Portanto:
Agora, substituindo
e
na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
A segunda derivada da função é: