Determine as derivadas de segunda ordem:
f) d^2/dx^2 (sen(x^2 * e^x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a segunda derivada da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente de derivadas compostas. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia e a regra do produto para derivar funções mais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . Aqui, temos uma função composta, então vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é , onde .
Então:
Agora, precisamos derivar , que é um produto de duas funções: e . Para isso, usamos a regra do produto, que diz que .
Derivando :
Portanto, a primeira derivada fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada derivando . Temos:
Para derivar isso, vamos aplicar novamente a regra do produto, já que temos o produto de e .
Seja e . Então:
Primeiro, vamos encontrar . Usando a regra da cadeia:
Agora, vamos encontrar . Derivando , aplicamos a regra do produto novamente:
Calculando as derivadas:
Portanto:
Agora, substituindo e na expressão de :
Simplificando:

Resposta

A segunda derivada da função é:

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