Determine d y / d x usando a definição.
d) y=x^4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de primeiro princípio (definição) da função y = x^4. Vamos ver o conteúdo teórico de derivada pela definição e usar a expansão de binômio para resolver.

Passo 2

Usamos a definição de derivada:
dydx = limh to 0 f(x+h) - f(x)h
Aqui f(x) = x^4.

Passo 3

Calculamos a diferença f(x+h)-f(x):
f(x+h) - f(x) = (x+h)^4 - x^4
Pelo binômio de Newton:
(x+h)^4 = x^4 + 4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4
Logo:
f(x+h) - f(x) = 4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4

Passo 4

Dividimos por h conforme a definição:
f(x+h) - f(x)h = 4x^3 + 6x^2h + 4xh^2 + h^3

Passo 5

Tomamos o limite quando h to 0. Os termos que contêm h desaparecem:
limhto0 l(4x^3 + 6x^2h + 4xh^2 + h^3r) = 4x^3

Resposta

dydx = 4x^3

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