Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada. Inclua no esboço informações relevantes como o(s) foco(s), o vértice ou centro, o(s) eixo(s) e a reta diretriz no caso da parábola.
x^236+(y-2)^227=1;

Passo 1

O exercício dá a cônica na forma reduzida x^236+(y-2)^227=1. O conteúdo aqui é elipse; vamos precisar identificar parâmetros (centro, semi-eixos), calcular vértices, focos, excentricidade, obter a equação geral e esboçar o gráfico.

Passo 2

Comparando com a forma canônica de elipse (x-h)^2a^2+(y-k)^2b^2=1, vemos que h=0, k=2, a^2=36 e b^2=27.
Como a^2=36>b^2=27, temos a=6 e b=3raiz3. O eixo maior é horizontal. Os vértices são em (hpm a,k)=(pm6,2) e os co-vértices em (h,kpm b)=(0,2pm3raiz3).

Passo 3

Para encontrar os focos usamos c^2=a^2-b^2=36-27=9, logo c=3. Os focos ficam em (hpm c,k)=(pm3,2) e a excentricidade é e=c/a=1/2.

Passo 4

Partindo de x^236+(y-2)^227=1 e multiplicando por 108, temos
3x^2+4(y-2)^2=108
Expandindo e rearranjando os termos obtemos
3x^2+4y^2-16y-92=0

Passo 5

O esboço é uma elipse centrada em (0,2) com eixo maior horizontal de comprimento 2a=12 ligando (-6,2) a (6,2), eixo menor vertical de comprimento 2b=6raiz3 ligando (0,2-3raiz3) a (0,2+3raiz3), e focos em (-3,2) e (3,2).

Resposta

Equação geral: 3x^2+4y^2-16y-92=0. O gráfico é uma elipse centrada em (0,2), com vértices em (pm6,2), co-vértices em (0,2pm3raiz3), focos em (pm3,2), eixo maior horizontal e eixo menor vertical.

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