Faça um esboço do gráfico das funções abaixo:
y=\frac{x^{2}-1}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função racional
f(x) = \frac{x^{2}-1}{x^{3}}.
Vamos estudar domínio, interceptos, assíntotas, monotonicidade e concavidade para depois desenhar qualitativamente.

Passo 2

Domínio: x\neq 0, pois o denominador não pode ser zero.
Interceptos com os eixos:
– Zeros da função: f(x)=0 quando x^{2}-1=0, ou seja x=\pm1. Logo os pontos (-1,0) e (1,0).
– Intercepto em y: não existe, pois x=0 não pertence ao domínio.

Passo 3

Assíntotas verticais e horizontais:
– Em x\to0^-, \,x^{2}-1\to -1 e x^{3}\to0^-, logo f(x)\to +\infty.
– Em x\to0^+, f(x)\to -\infty. Portanto há assíntota vertical em x=0.
– Em x\to\pm\infty, f(x)=\tfrac{x^{2}}{x^{3}}-\tfrac{1}{x^{3}}=\tfrac1{x}-\tfrac1{x^{3}}\to0. Logo a assíntota horizontal é y=0.

Passo 4

Derivada primeira para monotonicidade:
f(x)=x^{-1}-x^{-3}, \quad f'(x)=-x^{-2}+3x^{-4} =\frac{-x^{2}+3}{x^{4}}.
Zeramos o numerador: -x^{2}+3=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{3}.
– Para |x|<\sqrt{3}, -x^{2}+3>0 e x^{4}>0, logo f'(x)>0.
– Para |x|>\sqrt{3}, f'(x)<0.
Isso significa que f cresce em (-\,\sqrt{3},0) e (0,\sqrt{3}) e decresce em (-\infty,-\sqrt{3}) e (\sqrt{3},+\infty).
Em x=\sqrt{3} há máximo local e em x=-\sqrt{3} mínimo local, com
f(\pm\sqrt{3}) =\frac{3-1}{(\pm\sqrt{3})^{3}} =\pm\frac{2}{3\sqrt{3}} =\pm\frac{2\sqrt{3}}{9}.

Passo 5

Derivada segunda para concavidade:
f''(x) =\frac{d}{dx}\bigl(-x^{-2}+3x^{-4}\bigr) =2x^{-3}-12x^{-5} =\frac{2(x^{2}-6)}{x^{5}}.
Zero em x=\pm\sqrt{6}.
– Para |x|<\sqrt{6}, x^{2}-6<0 e o sinal de f'' vem de x^{5}: em (0,\sqrt{6}) f''<0 (côncava para baixo), em (-\sqrt{6},0) f''>0 (côncava para cima).
– Para |x|>\sqrt{6}, o sinal se inverte. Portanto há pontos de inflexão em \bigl(\pm\sqrt{6},f(\pm\sqrt{6})\bigr).

Passo 6

Esboço qualitativo do gráfico:
  1. Em x<0: a curva sai de y\to0^{-} quando x\to -\infty, decresce até x=-\sqrt{3} (mínimo em -2\sqrt{3}/9), depois cresce atravessando (-1,0) e tende a +\infty quando x\to0^{-}. É ímpar, simétrica em relação à origem.
  2. Em x>0: sai de y\to-\infty em x\to0^{+}, cresce até x=\sqrt{3} (máximo em 2\sqrt{3}/9), depois decresce cruzando (1,0) e aproxima-se de y=0^{+} quando x\to+\infty.
  3. A assíntota vertical é x=0 e a horizontal é y=0. Pontos de inflexão em x=\pm\sqrt{6}.

Resposta

O gráfico de y=(x^{2}-1)/x^{3} consiste em dois ramos desconectados:
  • Para x<0, ramo que vai de (-\infty,0^{-}) até a assíntota vertical em x=0, com mínimo em \bigl(-\sqrt{3},-2\sqrt{3}/9\bigr) e zero em (-1,0).
  • Para x>0, ramo que sai da assíntota vertical em x=0 até (+\infty,0^{+}), com máximo em \bigl(\sqrt{3},2\sqrt{3}/9\bigr) e zero em (1,0).
    Assíntotas: vertical x=0, horizontal y=0. Pontos de inflexão em \bigl(\pm\sqrt{6},\pm5\sqrt{6}/36\bigr).

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