Faça um esboço do gráfico das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função racional
Vamos estudar domínio, interceptos, assíntotas, monotonicidade e concavidade para depois desenhar qualitativamente.
Passo 2
Domínio:
, pois o denominador não pode ser zero.
Interceptos com os eixos:
– Zeros da função: quando
, ou seja
. Logo os pontos
e
.
– Intercepto em : não existe, pois
não pertence ao domínio.
Interceptos com os eixos:
– Zeros da função:
– Intercepto em
Passo 3
Assíntotas verticais e horizontais:
– Em ,
e
, logo
.
– Em ,
. Portanto há assíntota vertical em
.
– Em ,
. Logo a assíntota horizontal é
.
– Em
– Em
– Em
Passo 4
Derivada primeira para monotonicidade:
Zeramos o numerador:
.
– Para ,
e
, logo
.
– Para ,
.
Isso significa que cresce em
e
e decresce em
e
.
Em há máximo local e em
mínimo local, com
– Para
– Para
Isso significa que
Em
Passo 5
Derivada segunda para concavidade:
Zero em
.
– Para ,
e o sinal de
vem de
: em
(côncava para baixo), em
(côncava para cima).
– Para , o sinal se inverte. Portanto há pontos de inflexão em
.
– Para
– Para
Passo 6
Esboço qualitativo do gráfico:
- Em
: a curva sai de quando , decresce até (mínimo em ), depois cresce atravessando e tende a quando . É ímpar, simétrica em relação à origem. - Em
: sai de em , cresce até (máximo em ), depois decresce cruzando e aproxima-se de quando . - A assíntota vertical é
e a horizontal é . Pontos de inflexão em .
Resposta
O gráfico de
consiste em dois ramos desconectados:
- Para
, ramo que vai de até a assíntota vertical em , com mínimo em e zero em . - Para
, ramo que sai da assíntota vertical em até , com máximo em e zero em .
Assíntotas: vertical, horizontal . Pontos de inflexão em .