Encontre partial zpartial x e partial zpartial y nas equações dadas admitindo que z seja uma função diferenciável de x e y:
y e^x-5 sen(3 z)=3 z

Passo 1

Estamos lidando com diferenciação implícita da equação
F(x,y,z)=y e^x -5sen(3z)-3z=0
O que precisamos é usar as fórmulas
partial zpartial x=-FxFz, partial zpartial y=-FyFz
onde as derivadas de F são em relação a x, y e z.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de F:
Fx=partialpartial x(y e^x)=y e^x,
Fy=partialpartial y(y e^x)=e^x,
Fz=partialpartial z(-5sen(3z)-3z)=-5cdot3cos(3z)-3=-15cos(3z)-3

Passo 3

Substituindo em
partial zpartial x=-FxFz, partial zpartial y=-FyFz
e simplificando, obtemos:

Passo 4

Usando
Fx=y e^x,
Fy=e^x,
Fz=-15cos(3z)-3=-3,l(5cos(3z)+1r),
segue que

Passo 5

portanto

Passo 6

Resposta

[\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{y e^x}{3\bigl(5\cos(3z)+1\bigr)},\quad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{e^x}{3\bigl(5\cos(3z)+1\bigr)}]

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