Determine d yd x nas equações dadas, admitindo que y seja uma função diferenciável de x:
x^2 y^3+cos (y)=0

Passo 1

Enunciado: derivar implicitamente a equação x^2 y^3 + cos(y) = 0. O conteúdo é derivação implícita, usando a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos diferenciar ambos os lados em relação a x, lembrando que y é função de x.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
ddx(x^2 y^3) + ddxcos(y) = 0
Usando a regra do produto em x^2 y^3 e a regra da cadeia em cos(y):
ddx(x^2 y^3) = 2x,y^3 + x^2cdot 3y^2dydx,
ddxcos(y) = -sin(y)dydx

Passo 3

Substituindo na equação derivada e isolando dydx:
2x,y^3 + 3x^2y^2dydx - sin(y)dydx = 0
3x^2y^2dydx - sin(y)dydx = -2x,y^3
Fatorando dydx e resolvendo:
dydx(3x^2y^2 - sin(y)) = -2x,y^3
dydx = -2x,y^33x^2y^2 - sin(y)

Resposta

dydx = -2x,y^33x^2y^2 - sin(y)

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