Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2 <= 1, (a>0, b>0 e c>0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume
V = integral triplaE dV
do sólido definido por
E = l(x,y,z)mid tfracx^2a^2+tfracy^2b^2+tfracz^2c^2<=1r
Isso envolve usar integral tripla e mudança de variáveis para simplificar a região de integração.

Passo 2

Definimos a transformação
x = a,u, y = b,v, z = c,w
de modo que o elipsoide E se transforme na esfera unitária
W = (u,v,w)mid u^2+v^2+w^2<=1

Passo 3

O Jacobiano dessa mudança de variável é
J = det partial x/partial u & partial x/partial v & partial x/partial w partial y/partial u & partial y/partial v & partial y/partial w partial z/partial u & partial z/partial v & partial z/partial w = det a & 0 & 0 0 & b & 0 0 & 0 & c = abc

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
V = integral triplaEdV = integral triplaW l|Jr|,du,dv,dw = abc ,integral triplaWdu,dv,dw

Passo 5

Sabemos que o volume da esfera unitária em R^3 é
integral triplau^2+v^2+w^2<=1du,dv,dw = tfrac43pi
Portanto
V = abc ,cdot tfrac43pi = tfrac43,pi,a,b,c

Resposta

V = tfrac43,pi,a,b,c

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