Estude a convergência das sequências:
e^n+4n^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
an = e^n+4n^2
O conteúdo envolvido é comportamento assintótico de sequências em que aparece exponencial versus polinomial. Vamos usar o teste da razão (razão entre termos consecutivos) para determinar se an tende a um limite finito, a zero ou diverge.

Passo 2

Escrevendo e^n+4 = e^4,e^n, temos
an = e^4 ,e^nn^2
Como e^4 é apenas uma constante positiva, o que importa é o quociente e^nn^2.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão, calculando
an+1an = e^4,e^n+1(n+1)^2e^4,e^nn^2 = e ,n^2(n+1)^2 = el(nn+1r)^!2
Como
limntoinftyl(nn+1r)^!2=1,
segue que
limntoinftyan+1an=e>1
Quando a razão limite é maior que 1, isso significa que os termos an crescem sem limite.

Passo 4

Alternativamente, podemos observar que e^n cresce muito mais rápido que n^2. Logo o quociente e^nn^2 tende a +infty, e assim também anto+infty.

Resposta

A sequência diverge, isto é,
limntoinftyan = +infty

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