Determine D12 f(0,0) e D21 f(0,0) se existirem. (Pg 963)
f(x, y)=(x y) 2 x yx^2+y^2 se (x, y) neq 0 e f(0,0)=0.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= 2,dfracx^2y^2x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
e pede as derivadas parciais mistas
D12f(0,0)=partialpartial yl(fx(0,0)r)
e
D21f(0,0)=partialpartial xl(fy(0,0)r),
ou seja, vamos usar a definição de derivada parcial por limite e também calcular fx e fy para (x,y)neq(0,0) via regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais primeiras em (0,0) por definição. Para ,fx(0,0), temos
fx(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h =0
Analogamente
fy(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00-0k =0

Passo 3

Agora, para (x,y)neq(0,0) escrevemos
f(x,y)=2,x^2,y^2x^2+y^2
e aplicamos a regra do quociente a g(x)=x^2/(x^2+y^2). Como
g'(x) =2x,(x^2+y^2)-x^2cdot2x(x^2+y^2)^2 =2x,y^2(x^2+y^2)^2,
segue que
fx(x,y) =2,y^2,g'(x) =2,y^2,2x,y^2(x^2+y^2)^2 =4,x,y^4(x^2+y^2)^2
De modo análogo, trocando o papel de x e y, obtém-se
fy(x,y) =4,x^4,y(x^2+y^2)^2

Passo 4

Para achar
,D12f(0,0)=partialpartial y(fx)(0,0),
avaliamos fx(0,y) e usamos definição: para yneq0
fx(0,y) =4cdot0cdot y^4(0+y^2)^2 =0,
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D12f(0,0) =limkto0fx(0,k)-fx(0,0)k =limkto00-0k =0

Passo 5

Para
,D21f(0,0)=partialpartial x(fy)(0,0),
avaliamos fy(x,0): para xneq0
fy(x,0) =4,x^4cdot0(x^2+0)^2 =0,
e assim
D21f(0,0) =limhto0fy(h,0)-fy(0,0)h =limhto00-0h =0

Resposta

D12f(0,0)=0
D21f(0,0)=0

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