Determine
Dada a função y=2 x+43 x+2, encontre a sua inversa e apresente o conjunto domínio e o conjunto imagem das duas funções.

Passo 1

O enunciado dá a função
y = 2x+43x+2
e pede sua inversa, além de domínio e imagem de ambas as funções.
Conteúdo: funções inversas de funções racionais e determinação de domínio e imagem.

Passo 2

Para achar o domínio de f(x)=tfrac2x+43x+2, basta exigir que o denominador seja diferente de zero:
3x+2 neq 0
Logo,
x neq -tfrac23
Portanto
Dom(f)=Rsetminusl-tfrac23r

Passo 3

Para encontrar a inversa, trocamos x e y e resolvemos para y:
y(3x+2)=2x+4
3xy+2y=2x+4
y(3x-2)=2x+4-2y(reagrupando em (y))
Na verdade, ao trocar x e y desde o início, temos
x = 2y+43y+2
e resolvendo para y:
x(3y+2)=2y+4
3xy+2x=2y+4
3xy-2y=4-2x
y(3x-2)=4-2x
y=4-2x3x-2
Renomeando y como f^-1(x), obtemos
f^-1(x)=4-2x3x-2

Passo 4

O domínio de f^-1 exige que o denominador de tfrac4-2x3x-2 seja diferente de zero:
3x-2neq0
Logo
xneqtfrac23
Assim
Dom(f^-1)=Rsetminusltfrac23r

Passo 5

Para a imagem de f, basta observar a expressão da inversa: os valores que y=f(x) não pode tomar são aqueles que anulam o denominador de f^-1, i.e. 3y-2=0Rightarrow y=tfrac23. Portanto
Im(f)=Rsetminusltfrac23r
De modo análogo, a imagem de f^-1 coincide com o domínio de f:
Im(f^-1)=Rsetminusl-tfrac23r

Resposta

Função inversa:
f^-1(x)=4-2x3x-2
Domínios e imagens:
Dom(f)=Rsetminusl-tfrac23r, Im(f)=Rsetminusltfrac23r,
Dom(f^-1)=Rsetminusltfrac23r, Im(f^-1)=Rsetminusl-tfrac23r

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