Usando o teorema de existência e unicidade, determine se existe uma solução para os problemas de valor inicial dados abaixo, resolvendo-os, quando possível.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
O conteúdo da matéria é o Teorema de Existência e Unicidade para EDOs de primeira ordem e, em seguida, a resolução da equação por separação de variáveis.
Passo 2
Aplicamos o Teorema de Existência e Unicidade: definimos
Note que
é contínua em todo
e sua derivada parcial
também é contínua em
. Assim, existe uma solução local única que passa por
.
Passo 3
Para encontrar a solução, usamos o método de separação de variáveis. Escrevemos
Passo 4
Integramos ambos os lados:
onde
é constante de integração.
Passo 5
Impondo a condição inicial
, temos
Logo a solução geral fica
Passo 6
Concluímos que existe solução única dada por
definida para
. Em particular, há uma vizinhança de
(por exemplo
) onde a solução é bem definida e única.
Resposta
A solução única do PVI é
existe e é única em todo intervalo que contenha
e fique estritamente à esquerda de
.