Usando o teorema de existência e unicidade, determine se existe uma solução para os problemas de valor inicial dados abaixo, resolvendo-os, quando possível.
d yd x=y^2 ; y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
dydx = y^2, y(0)=1
O conteúdo da matéria é o Teorema de Existência e Unicidade para EDOs de primeira ordem e, em seguida, a resolução da equação por separação de variáveis.

Passo 2

Aplicamos o Teorema de Existência e Unicidade: definimos
f(x,y)=y^2
Note que f é contínua em todo (x,y)inR^2 e sua derivada parcial
partial fpartial y(x,y)=2y
também é contínua em R^2. Assim, existe uma solução local única que passa por (0,1).

Passo 3

Para encontrar a solução, usamos o método de separação de variáveis. Escrevemos
dydx=y^2 Longrightarrow 1y^2,dy = dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral 1y^2,dy = integral dx Longrightarrow -,1y = x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Impondo a condição inicial y(0)=1, temos
-,11 = 0 + C Longrightarrow C = -1
Logo a solução geral fica
-,1y = x - 1 Longrightarrow y(x) = -1,x-1, = 1,1-x,

Passo 6

Concluímos que existe solução única dada por
y(x)=11-x,
definida para xneq1. Em particular, há uma vizinhança de x=0 (por exemplo -infty<x<1) onde a solução é bem definida e única.

Resposta

A solução única do PVI é
y(x)=11-x,
existe e é única em todo intervalo que contenha 0 e fique estritamente à esquerda de x=1.

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