Uma partícula está no estado fundamental numa caixa unidimensional de comprimento L. (A caixa tem uma extremidade na origem e a outra extremidade no eixo positivo de x ). Determine a probabilidade de encontrar a partícula num intervalo de comprimento De<a x=0,002 L e centrada em x=12 L (Como De<a x é muito pequeno não é necessário fazer integração.)

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de encontrar a partícula, que está no estado fundamental de uma caixa unidimensional de comprimento L, dentro de um intervalo muito pequeno de comprimento De<a x = 0,002,L centrado em x = tfrac12L. Como De<a x é pequeno, podemos aproximar a probabilidade por
P approx |psi(x0)|^2,De<a x
onde x0 = tfrac12L e psi(x) é a função de onda do estado fundamental.

Passo 2

A função de onda do estado fundamental na caixa [0,L] é
psi1(x) = raiz2L;sin!gl(pi xLgr)
A densidade de probabilidade é |psi1(x)|^2 .

Passo 3

No ponto x0 = tfrac12L temos
sin!l(tfracpiLcdottfracL2r)=sin!l(tfracpi2r)=1,
logo
|psi1(tfrac12L)|^2 = 2L,sin^2!l(tfracpi2r) = 2L

Passo 4

Multiplicando pela largura do intervalo De<a x = 0,002,L, obtemos
P approx 2Ltimes(0,002,L) = 0,004

Resposta

A probabilidade é P = 0,004 (ou 0,4%).

Exercícios relacionados