Determine m in R para que T: R^3 R^3 dada por
T(x, y, z)=(raiz33 x+raiz33 y+m z,-raiz66 x+raiz63 y-raiz66 z,-raiz22 x+raiz22 z)
seja uma isometria.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar o valor de m em números reais, tal que a transformação linear T: R^3 R^3 definida por
T(x, y, z) = ( raiz33x + raiz33y + m z, -raiz66x + raiz63y - raiz66z, -raiz22x + raiz22z )
seja uma isometria. A matéria envolvida aqui é Transformações Lineares e Isometrias em Álgebra Linear. Para resolver, vamos verificar as condições para que T seja uma isometria, ou seja, que preserve distâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma isometria. No contexto de transformações lineares, T é uma isometria se ela preserva o comprimento dos vetores, ou seja, para todo vetor v in R^3 , temos:
|T(v)| = |v|
Isso é equivalente a dizer que a transformação T é ortogonal, o que significa que a matriz associada a T satisfaz T^T T = I , onde T^T é a transposta de T e I é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos escrever a matriz associada à transformação T . Observando a definição de T , podemos identificar a matriz A de T como:
A = raiz33 & raiz33 & m -raiz66 & raiz63 & -raiz66 -raiz22 & 0 & raiz22

Passo 4

Agora, precisamos calcular A^T A e igualar a matriz identidade I . Vamos primeiro encontrar a transposta de A :
A^T = raiz33 & -raiz66 & -raiz22 raiz33 & raiz63 & 0 m & -raiz66 & raiz22

Passo 5

Multiplicando A^T por A , obtemos:
A^T A = a & b & c b & d & e c & e & f
Onde cada elemento é calculado através do produto das linhas de A^T com as colunas de A . Vamos calcular cada elemento:
  • a = (raiz33)^2 + (-raiz66)^2 + (-raiz22)^2
  • b = raiz33 cdot raiz33 + (-raiz66) cdot raiz63 + (-raiz22) cdot 0
  • c = raiz33 cdot m + (-raiz66) cdot (-raiz66) + (-raiz22) cdot raiz22
  • d = (raiz33)^2 + (raiz63)^2 + 0^2
  • e = raiz33 cdot m + raiz63 cdot (-raiz66) + 0 cdot raiz22
  • f = m^2 + (-raiz66)^2 + (raiz22)^2

Passo 6

Vamos calcular cada um desses termos:
  • a = 39 + 636 + 24 = 13 + 16 + 12 = 26 + 16 + 36 = 1
  • b = 39 + (-618) + 0 = 13 - 13 = 0
  • c = raiz33 m + 636 - 24 = raiz33 m + 16 - 12 = raiz33 m - 13
  • d = 39 + 69 + 0 = 13 + 23 = 1
  • e = raiz33 m + -618 + 0 = raiz33 m - 13
  • f = m^2 + 636 + 24 = m^2 + 16 + 12 = m^2 + 23
Então, a matriz A^T A fica:
A^T A = 1 & 0 & raiz33 m - 13 0 & 1 & raiz33 m - 13 raiz33 m - 13 & raiz33 m - 13 & m^2 + 23

Passo 7

Para que T seja uma isometria, precisaremos que A^T A = I , ou seja:
1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = 1 & 0 & raiz33 m - 13 0 & 1 & raiz33 m - 13 raiz33 m - 13 & raiz33 m - 13 & m^2 + 23
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. raiz33 m - 13 = 0
  2. raiz33 m - 13 = 0
  3. m^2 + 23 = 1

Passo 8

Vamos resolver as equações:
Primeira equação:
raiz33 m - 13 = 0 implies raiz33 m = 13 implies m = 1raiz3 = raiz33
Segunda equação é igual à primeira, então não traz nova informação.
Terceira equação:
m^2 + 23 = 1 implies m^2 = 1 - 23 = 13 implies m = pm raiz33

Resposta

O valor de m que torna T uma isometria é m = raiz33 .

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