Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar o valor de em números reais, tal que a transformação linear definida por
seja uma isometria. A matéria envolvida aqui é Transformações Lineares e Isometrias em Álgebra Linear. Para resolver, vamos verificar as condições para que seja uma isometria, ou seja, que preserve distâncias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma isometria. No contexto de transformações lineares, é uma isometria se ela preserva o comprimento dos vetores, ou seja, para todo vetor , temos:
Isso é equivalente a dizer que a transformação é ortogonal, o que significa que a matriz associada a satisfaz , onde é a transposta de e é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos escrever a matriz associada à transformação . Observando a definição de , podemos identificar a matriz de como:
Passo 4
Agora, precisamos calcular A^T A e igualar a matriz identidade I . Vamos primeiro encontrar a transposta de A :