Determine a projeção ortogonal u=projU v do elemento v =(1,2,3,4) sobre os seguintes subespaços U de R^4.
U=[(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)].

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de
v=(1,2,3,4)
sobre o subespaço
U=span(1,1,1,1),;(1,1,1,0),;(1,1,0,0),;(1,0,0,0)subsetR^4
O conteúdo é entendimento de projeção ortogonal e dimensão de subespaços.

Passo 2

Mostramos que os quatro vetores geradores são linearmente independentes e, portanto, formam base de R^4. De fato, chamemos
u1=(1,1,1,1),;u2=(1,1,1,0),;u3=(1,1,0,0),;u4=(1,0,0,0)
Observe as diferenças sucessivas:
u1-u2=(0,0,0,1), u2-u3=(0,0,1,0), u3-u4=(0,1,0,0), u4=(1,0,0,0)
Esses quatro vetores são exatamente os vetores da base canônica de R^4, o que prova a independência linear de u1,u2,u3,u4.

Passo 3

Como dim U=4 em R^4, segue que U=R^4. A projeção ortogonal de qualquer vetor de R^4 sobre R^4 é ele mesmo.

Resposta

u=projUv=(1,2,3,4)

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