Determine a projeção ortogonal do elemento sobre os seguintes subespaços de . .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de projeção ortogonal. A gente precisa encontrar a projeção do vetor sobre o subespaço de que é gerado pelos vetores e .
Pra fazer isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente projeções ortogonais e sistemas lineares. Vamos precisar montar uma base para , garantir que está no formato certo e depois aplicar a fórmula da projeção.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores que geram são linearmente independentes, ou seja, se um não é múltiplo do outro. Olhando os vetores e , vemos que eles não são múltiplos um do outro porque o último componente é diferente. Então, é um subespaço de dimensão 2.
Passo 3
Agora, para encontrar a projeção de sobre , usamos a seguinte fórmula:
onde é a matriz cujas colunas são os vetores que geram . Vamos montar essa matriz: