Determine a projeção ortogonal u=projU v do elemento v =(1,2,3,4) sobre os seguintes subespaços U de R^4.
U=[(1,1,1,1),(1,1,1,0)].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de projeção ortogonal. A gente precisa encontrar a projeção do vetor v = (1,2,3,4) sobre o subespaço U de R^4 que é gerado pelos vetores (1,1,1,1) e (1,1,1,0) .
Pra fazer isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente projeções ortogonais e sistemas lineares. Vamos precisar montar uma base para U , garantir que está no formato certo e depois aplicar a fórmula da projeção.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores que geram U são linearmente independentes, ou seja, se um não é múltiplo do outro. Olhando os vetores u1 = (1,1,1,1) e u2 = (1,1,1,0) , vemos que eles não são múltiplos um do outro porque o último componente é diferente. Então, U é um subespaço de dimensão 2.

Passo 3

Agora, para encontrar a projeção de v sobre U , usamos a seguinte fórmula:
projU v = A(A^T A)^-1 A^T v
onde A é a matriz cujas colunas são os vetores que geram U . Vamos montar essa matriz:
A = 1 & 1 1 & 1 1 & 1 1 & 0

Passo 4

Vamos calcular A^T A :
A^T A = 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 1 & 1 1 & 1 1 & 0 = 4 & 3 3 & 3

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o inverso de A^T A . Para uma matriz a & b c & d , o inverso é 1ad - bc d & -b -c & a , desde que ad - bc neq 0 .
Calculando o determinante:
det(A^T A) = (4)(3) - (3)(3) = 12 - 9 = 3
Então,
(A^T A)^-1 = 13 3 & -3 -3 & 4 = 1 & -1 -1 & 43

Passo 6

Agora, vamos calcular A^T v :
A^T v = 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 0 1 2 3 4 = 1+2+3+4 1+2+3+0 = 10 6

Passo 7

Agora, multiplicamos (A^T A)^-1 por A^T v :
(A^T A)^-1 A^T v = 1 & -1 -1 & 43 10 6 = 10 - 6 -10 + 8 = 4 -2

Passo 8

Finalmente, multiplicamos A por o que encontramos acima:
projU v = A 4 -2 = 4 1 1 1 1 + (-2) 1 1 1 0 = 4 4 4 4 + -2 -2 -2 0 = 2 2 2 4

Resposta

A projeção ortogonal de v = (1,2,3,4) sobre o subespaço U é projU v = (2,,2,,2,,4) .

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