Determine tg(2 x), dados sen(x)=raiz33 e 0< theta<pi2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar o valor de tg(2x) sabendo que sen(x) = raiz33 e que 0 < x < pi2. Isso envolve usar algumas fórmulas de trigonometria, especialmente a fórmula da tangente do ângulo duplo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da tangente do ângulo duplo:
tg(2x) = 2 tg(x)1 - tg^2(x)
Para usar essa fórmula, a gente precisa saber o valor de tg(x). Como já sabemos o valor de sen(x), vamos partir daí.

Passo 3

Sabemos que:
tg(x) = sen(x)cos(x)
Então, precisamos encontrar o valor de cos(x). Para isso, vamos usar a identidade trigonométrica básica:
sen^2(x) + cos^2(x) = 1

Passo 4

Substituindo o valor de sen(x) na identidade:
(raiz33)^2 + cos^2(x) = 1 39 + cos^2(x) = 1 cos^2(x) = 1 - 13 cos^2(x) = 23
Como 0 < x < pi2, o cosseno é positivo. Então:
cos(x) = raiz23 = raiz63

Passo 5

Agora, vamos calcular tg(x):
tg(x) = sen(x)cos(x) = raiz33raiz63 = raiz3raiz6 = raiz3 cdot raiz66 = raiz186 = 3raiz26 = raiz22

Passo 6

Agora que temos tg(x) = raiz22, vamos usar a fórmula da tangente do ângulo duplo:
tg(2x) = 2 cdot raiz221 - (raiz22)^2 = raiz21 - 24 = raiz224 = raiz212 = 2raiz2

Resposta

tg(2x) = 2raiz2.

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