Sabendo que a-b=pi3. Calcule o valor de (cos a+cos b)^2+(sen a+sen b)^2.

Passo 1

O enunciado dá que a diferença entre os ângulos é a - b = pi3 e pede para calcular o quadrado da soma de cossenos mais o quadrado da soma de senos, ou seja, (cos a + cos b)^2 + (sin a + sin b)^2. O conteúdo envolvido são identidades trigonométricas de soma de vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, expandimos os quadrados usando a propriedade (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2:
(cos a + cos b)^2 + (sin a + sin b)^2 = cos^2 a + 2cos acos b + cos^2 b + sin^2 a + 2sin asin b + sin^2 b

Passo 3

Em seguida, agrupamos cos^2 a + sin^2 a = 1 e cos^2 b + sin^2 b = 1:
1 + 1 + 2(cos acos b + sin asin b) = 2 + 2(cos acos b + sin asin b)

Passo 4

Usamos a identidade de soma de ângulos na forma de produto escalar: cos acos b + sin asin b = cos(a - b). Como a - b = tfracpi3, temos cos(a - b) = costfracpi3 = tfrac12.
Substituindo na expressão obtida:
2 + 2cdot tfrac12 = 2 + 1 = 3

Resposta

3

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