Determine uma decomposição diagonal para as matrizes:
(rr2 & -2 1 & 5)

Passo 1

O enunciado pede uma decomposição diagonal da matriz
A = 2 & -2[6pt]1 & 5
O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes: vamos precisar calcular os autovalores (soluções do polinômio característico) e, para cada autovalor, encontrar um autovetor. Com isso montamos P (colunas formadas pelos autovetores) e D (autovalores na diagonal).]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det!2-lambda & -2[4pt]1 & 5-lambda = (2-lambda)(5-lambda) - (-2)cdot1 = lambda^2 -7lambda +10 +2 = lambda^2 -7lambda +12
Resolvendo lambda^2 -7lambda +12=0 obtemos
lambda1=3, lambda2=4
]

Passo 3

Para lambda1=3, resolvemos (A-3I)v=0:
-1 & -2[4pt]1 & 2 x[4pt]y =0 ;Longrightarrow; - x -2y=0 ;Longrightarrow; x=-2y
Escolhendo y=1 temos um autovetor
v1 = -2[4pt]1
Para lambda2=4, resolvemos (A-4I)v=0:
-2 & -2[4pt]1 & 1 x[4pt]y =0 ;Longrightarrow; -2x -2y=0 ;Longrightarrow; x=-y
Escolhendo y=1 obtemos
v2 = -1[4pt]1 ]

Passo 4

Formamos a matriz P cujas colunas são v1 e v2, e a matriz diagonal D com lambda1 e lambda2:
P = -2 & -1[4pt]1 & 1, D = 3 & 0[4pt]0 & 4
Verificamos que det P = (-2)cdot1 -(-1)cdot1 = -1neq0, logo P é invertível e
A = P,D,P^-1
é a decomposição diagonal desejada.]

Resposta

P = -2 & -1[4pt]1 & 1, D = 3 & 0[4pt]0 & 4, com A = P,D,P^-1 ]

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