Seja T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x-y, x+y, 2 z). Prove que T é um isomorfismo e apresente sua inversa. Para isso siga o seguinte roteiro:
b) Investigando o N(T) prove que T é injetora, exiba teorema e contas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que a transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z) = (x - y, x + y, 2z) é um isomorfismo. Para isso, precisamos mostrar que T é injetora e sobrejetora. Aqui, vamos focar na parte (b), que é provar que T é injetora investigando o núcleo de T ( N(T) ).

Passo 2

Primeiro, lembra que uma transformação linear T é injetora se e somente se o seu núcleo N(T) contém apenas o vetor zero. Ou seja, se N(T) = 0 , então T é injetora. Vamos verificar isso.

Passo 3

O núcleo N(T) é o conjunto de todos os vetores (x, y, z) em R^3 que satisfazem T(x, y, z) = 0 . Então, temos:
T(x, y, z) = (x - y, x + y, 2z) = (0, 0, 0)
Isso nos dá o sistema de equações:
x - y = 0 x + y = 0 2z = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Da terceira equação, [2z = 0), logo .
Das duas primeiras equações:
Podemos somar as duas equações:
Substituindo (x = 0] na primeira equação:

Passo 5

Portanto, a única solução para o sistema é x = 0 , y = 0 e z = 0 , ou seja, (x, y, z) = (0, 0, 0) . Isso significa que:
N(T) = 0

Passo 6

Agora, aplicando o teorema que diz que uma transformação linear é injetora se e somente se o seu núcleo contém apenas o vetor zero, concluímos que T é injetora.

Resposta

A transformação T é injetora porque N(T) = 0 , conforme mostrado acima.

Exercícios relacionados