Seja dada por . Prove que é um isomorfismo e apresente sua inversa. Para isso siga o seguinte roteiro:
b) Investigando o prove que é injetora, exiba teorema e contas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que a transformação linear definida por é um isomorfismo. Para isso, precisamos mostrar que é injetora e sobrejetora. Aqui, vamos focar na parte (b), que é provar que é injetora investigando o núcleo de ().
Passo 2
Primeiro, lembra que uma transformação linear é injetora se e somente se o seu núcleo contém apenas o vetor zero. Ou seja, se , então é injetora. Vamos verificar isso.
Passo 3
O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem . Então, temos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Da terceira equação, [2z = 0), logo .
Das duas primeiras equações:
Podemos somar as duas equações:
Substituindo (x = 0] na primeira equação:
Passo 5
Portanto, a única solução para o sistema é x = 0 , y = 0 e z = 0 , ou seja, (x, y, z) = (0, 0, 0) . Isso significa que:
N(T) = 0
Passo 6
Agora, aplicando o teorema que diz que uma transformação linear é injetora se e somente se o seu núcleo contém apenas o vetor zero, concluímos que T é injetora.
Resposta
A transformação T é injetora porque N(T) = 0 , conforme mostrado acima.