Seja T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x-y, x+y, 2 z). Prove que T é um isomorfismo e apresente sua inversa. Para isso siga o seguinte roteiro:
a) Defina Núcleo de uma transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z) = (x - y, x + y, 2z) . Nosso objetivo é provar que T é um isomorfismo e achar a sua inversa. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de transformações lineares, como o núcleo. Vamos começar definindo o núcleo de uma transformação linear.

Passo 2

Núcleo de uma Transformação Linear: O núcleo (ou kernel) de uma transformação linear T , denotado por Ker(T) , é o conjunto de todos os vetores v no espaço de partida tal que T(v) = 0 . Ou seja,
Ker(T) = v in R^3 mid T(v) = 0
Entender o núcleo é importante porque, se o único vetor no núcleo for o vetor zero, a transformação T é injetora.

Passo 3

Vamos encontrar o núcleo da transformação T . Precisamos resolver a equação T(x, y, z) = 0 , onde 0 = (0, 0, 0) .
Isso nos dá o sistema de equações:
x - y = 0 x + y = 0 2z = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação: x - y = 0 Rightarrow x = y
  2. Substituindo x = y na segunda equação: y + y = 0 Rightarrow 2y = 0 Rightarrow y = 0
  3. Como x = y , então x = 0
  4. Da terceira equação: 2z = 0 Rightarrow z = 0

Passo 5

Portanto, a única solução é x = y = z = 0 . Isso significa que:
Ker(T) = 0
Como o núcleo contém apenas o vetor zero, a transformação T é injetora.

Passo 6

Agora, para provar que T é um isomorfismo, precisamos mostrar que T é tanto injetora quanto sobrejetora. Já vimos que T é injetora. Como estamos lidando com espaços de mesma dimensão ( R^3 para R^3 ) e uma transformação linear injetora entre espaços de mesma dimensão também é sobrejetora, podemos concluir que T é um isomorfismo.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a inversa de T , ou seja, uma transformação T^-1 que satisfaz T^-1(T(v)) = v para todo v in R^3 .
Sabemos que:
T(x, y, z) = (x - y, x + y, 2z) = (u, v, w)
Queremos encontrar x, y, z em termos de u, v, w .

Passo 8

Vamos resolver o sistema:
u = x - y v = x + y w = 2z
Primeiro, somamos as duas primeiras equações:
u + v = (x - y) + (x + y) = 2x Rightarrow x = u + v2
Subtraindo a primeira equação da segunda:
v - u = (x + y) - (x - y) = 2y Rightarrow y = v - u2
Da terceira equação:
z = w2

Passo 9

Então, a inversa T^-1 é dada por:
T^-1(u, v, w) = ( u + v2, v - u2, w2 )

Resposta

A transformação T é um isomorfismo, e sua inversa é dada por:
T^-1(u, v, w) = ( u + v2, v - u2, w2 )

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