Determine a decomposição em valores singulares das seguintes matrizes:
(01) A=[ll 4 & 6 0 & 4 ]

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para decompor a matriz A = 4 & 6 0 & 4 usando a decomposição em valores singulares (SVD). A matéria envolvida aqui é a Álgebra Linear, especificamente a parte de decomposição de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a SVD, que basicamente quebra uma matriz em três outras matrizes: U , Sigma e V^T .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a decomposição em valores singulares. Para uma matriz A de dimensão m times n , a SVD é dada por:
A = U Sigma V^T
Onde:
  • U é uma matriz m times m ortogonal.
  • Sigma é uma matriz m times n diagonal com os valores singulares.
  • V^T é a transposta de uma matriz n times n ortogonal.
Os valores singulares são as raízes quadradas dos autovalores de A^T A .

Passo 3

Vamos começar calculando A^T A . Primeiro, a transposta de A é:
A^T = 4 & 0 6 & 4
Multiplicando A^T por A :
A^T A = 4 & 0 6 & 4 4 & 6 0 & 4 = 16 & 24 24 & 52

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os autovalores de A^T A . Para isso, resolvemos o determinante:
det(A^T A - lambda I) = 0
det( 16 - lambda & 24 24 & 52 - lambda ) = (16 - lambda)(52 - lambda) - 24 times 24 = 0
Calculando:
(16 - lambda)(52 - lambda) - 576 = lambda^2 - 68lambda + 832 - 576 = lambda^2 - 68lambda + 256 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
lambda = 68 pm raiz68^2 - 4 times 1 times 2562 = 68 pm raiz4624 - 10242 = 68 pm raiz36002 = 68 pm 602
Então, os autovalores são:
lambda1 = 68 + 602 = 64 e lambda2 = 68 - 602 = 4

Passo 5

Os valores singulares são as raízes quadradas dos autovalores:
sigma1 = raiz64 = 8 e sigma2 = raiz4 = 2
Assim, a matriz Sigma é:
Sigma = 8 & 0 0 & 2

Passo 6

Agora, vamos encontrar a matriz V . Para isso, precisamos encontrar os vetores próprios de A^T A .
Para lambda1 = 64 :
(A^T A - 64I) = 16 - 64 & 24 24 & 52 - 64 = -48 & 24 24 & -12
Resolvendo (A^T A - 64I)v = 0 :
-48v1 + 24v2 = 0 Rightarrow v1 = 2448v2 = 12v2
Escolhendo v2 = 2 , então v1 = 1 . Portanto, um vetor próprio é v = 1 2 . Normalizando:
|v| = raiz1^2 + 2^2 = raiz5 Rightarrow v = 1raiz5 1 2
Para lambda2 = 4 :
(A^T A - 4I) = 16 - 4 & 24 24 & 52 - 4 = 12 & 24 24 & 48
Resolvendo (A^T A - 4I)v = 0 :
12v1 + 24v2 = 0 Rightarrow v1 = -2v2
Escolhendo v2 = 1 , então v1 = -2 . Portanto, outro vetor próprio é v = -2 1 . Normalizando:
|v| = raiz(-2)^2 + 1^2 = raiz5 Rightarrow v = 1raiz5 -2 1
Assim, a matriz V é:
V = 1raiz5 & -2raiz5 2raiz5 & 1raiz5

Passo 7

Agora, vamos encontrar a matriz U . Sabemos que U = A V Sigma^-1 .
Calculando Sigma^-1 :
Sigma^-1 = 18 & 0 0 & 12
Multiplicando A por V :
A V = 4 & 6 0 & 4 1raiz5 & -2raiz5 2raiz5 & 1raiz5 = 4 times 1 + 6 times 2raiz5 & 4 times (-2) + 6 times 1raiz5 0 times 1 + 4 times 2raiz5 & 0 times (-2) + 4 times 1raiz5 = 16raiz5 & -2raiz5 8raiz5 & 4raiz5
Multiplicando por Sigma^-1 :
U = A V Sigma^-1 = 16raiz5 times 18 & -2raiz5 times 12 8raiz5 times 18 & 4raiz5 times 12 = 2raiz5 & -1raiz5 1raiz5 & 2raiz5

Resposta

A decomposição em valores singulares da matriz A é:
A = U Sigma V^T
Onde:
U = 2raiz5 & -1raiz5 1raiz5 & 2raiz5 , Sigma = 8 & 0 0 & 2 , V = 1raiz5 & -2raiz5 2raiz5 & 1raiz5

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