Determine a decomposição em valores singulares das seguintes matrizes:
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para decompor a matriz A = 4 & 6 0 & 4 usando a decomposição em valores singulares (SVD). A matéria envolvida aqui é a Álgebra Linear, especificamente a parte de decomposição de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a SVD, que basicamente quebra uma matriz em três outras matrizes: U , Sigma e V^T .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a decomposição em valores singulares. Para uma matriz A de dimensão m times n , a SVD é dada por:
A = U Sigma V^T
Onde:
U é uma matriz m times m ortogonal.
Sigma é uma matriz m times n diagonal com os valores singulares.
V^T é a transposta de uma matriz n times n ortogonal.
Os valores singulares são as raízes quadradas dos autovalores de A^T A .
Passo 3
Vamos começar calculando A^T A . Primeiro, a transposta de A é:
A^T = 4 & 0 6 & 4
Multiplicando A^T por A :
A^T A = 4 & 0 6 & 4 4 & 6 0 & 4 = 16 & 24 24 & 52
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os autovalores de A^T A . Para isso, resolvemos o determinante: