Sejam G um grupo e a in G tal que a^3=e, mas a neq e e a^2 neq e. Seja H=a^n, n in Z.
Mostre que H=e, a, a^2.

Passo 1

O enunciado nos dá um grupo G e um elemento ain G tal que
a^3=e, aneqe, a^2neqe
Definimos o subgrupo gerado por a como
H=a^nmid ninZ
Queremos mostrar que
H=e,,a,,a^2
O conteúdo principal aqui é a teoria de subgrupos cíclicos e a noção de ordem de um elemento.

Passo 2

Mostramos primeiro que e,a,a^2subseteq H.
De fato, basta escolher n=0,1,2:
a^0=ein H, a^1=ain H, a^2=a^2in H

Passo 3

Agora mostramos que todo elemento de H já está em e,a,a^2.
Tome um ninZ. Pelo algoritmo da divisão, existem q,rinZ tais que
n = 3q + r, 0<= r<= 2
Então
a^n = a^3q+r = (a^3)^q,a^r = e^q,a^r = a^r
Como rin0,1,2, segue a^nine,a,a^2. Logo
Hsubseteqe,a,a^2

Passo 4

Para certificar que não há elementos repetidos em e,a,a^2, usamos o fato de que aneqe e a^2neqe (dado). Se por acaso a^2=a, multiplicando à esquerda por a^-1 obteríamos a=e, o que é absurdo. Portanto e,a,a^2 são distintos.

Resposta

H = e,,a,,a^2

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