Sejam
um grupo e
tal que
, mas
e
. Seja
.
Mostre que
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado nos dá um grupo
e um elemento
tal que
Definimos o subgrupo gerado por
como
Queremos mostrar que
O conteúdo principal aqui é a teoria de subgrupos cíclicos e a noção de ordem de um elemento.
Passo 2
Mostramos primeiro que
.
De fato, basta escolher :
De fato, basta escolher
Passo 3
Agora mostramos que todo elemento de
já está em
.
Tome um . Pelo algoritmo da divisão, existem
tais que
Tome um
Então
Como
, segue
. Logo
Passo 4
Para certificar que não há elementos repetidos em
, usamos o fato de que
e
(dado). Se por acaso
, multiplicando à esquerda por
obteríamos
, o que é absurdo. Portanto
são distintos.