Mostre que, entre todos os triângulos de mesma base e mesma altura relativa, o triângulo isósceles é o que tem o menor perímetro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, entre todos os triângulos que têm a mesma base e a mesma altura relativa, o triângulo isósceles é aquele que possui o menor perímetro. Ou seja, queremos provar que, com essas condições fixas, o triângulo isósceles vai ter a menor soma dos lados. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria básica como perímetro, propriedades dos triângulos isósceles e um pouco de cálculo para otimizar essa soma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter a mesma base e a mesma altura. Imagine que todos os triângulos que vamos comparar têm uma base de comprimento
e uma altura
, que é a distância perpendicular da base até o vértice oposto. A área desses triângulos será a mesma, já que a área de um triângulo é dada por
.
Passo 3
Agora, vamos pensar no perímetro, que é a soma dos três lados do triângulo. Vamos chamar a base de
e os outros dois lados de
e
. Então, o perímetro
é:
Nosso objetivo é minimizar
com base nas condições dadas.
Passo 4
Como a altura
é fixa, podemos usar o teorema de Pitágoras para relacionar os lados
e
com a base
. Se considerarmos que o triângulo está dividido em dois triângulos retângulos, cada um terá uma base de
e altura
. Assim, cada lado
e
pode ser expresso como:
Isso acontece porque, para minimizar o perímetro, os lados
e
precisam ser iguais, caracterizando o triângulo isósceles.
Passo 5
Substituindo
na expressão do perímetro, temos:
Agora, substituímos
pela expressão encontrada anteriormente:
Passo 6
Para garantir que esse é realmente o menor perímetro possível, podemos observar que qualquer alteração em
e
mantendo
e
fixos fará com que um dos lados aumente enquanto o outro diminui, mas a soma
sempre será maior ou igual a quando
. Isso é uma aplicação do princípio de que, para um dado produto fixo, a soma é minimizada quando os termos são iguais.
Passo 7
Portanto, concluímos que, para minimizar o perímetro
mantendo a base
e a altura
constantes, os lados
e
devem ser iguais, formando assim um triângulo isósceles.
Resposta
Entre todos os triângulos com a mesma base e a mesma altura relativa, o triângulo isósceles possui o menor perímetro.