Mostre que, entre todos os triângulos de mesma base e mesma altura relativa, o triângulo isósceles é o que tem o menor perímetro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, entre todos os triângulos que têm a mesma base e a mesma altura relativa, o triângulo isósceles é aquele que possui o menor perímetro. Ou seja, queremos provar que, com essas condições fixas, o triângulo isósceles vai ter a menor soma dos lados. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria básica como perímetro, propriedades dos triângulos isósceles e um pouco de cálculo para otimizar essa soma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter a mesma base e a mesma altura. Imagine que todos os triângulos que vamos comparar têm uma base de comprimento b e uma altura h , que é a distância perpendicular da base até o vértice oposto. A área desses triângulos será a mesma, já que a área de um triângulo é dada por b times h2 .

Passo 3

Agora, vamos pensar no perímetro, que é a soma dos três lados do triângulo. Vamos chamar a base de b e os outros dois lados de a e c . Então, o perímetro P é:
P = a + b + c
Nosso objetivo é minimizar P com base nas condições dadas.

Passo 4

Como a altura h é fixa, podemos usar o teorema de Pitágoras para relacionar os lados a e c com a base b . Se considerarmos que o triângulo está dividido em dois triângulos retângulos, cada um terá uma base de b2 e altura h . Assim, cada lado a e c pode ser expresso como:
a = c = raiz(b2)^2 + h^2
Isso acontece porque, para minimizar o perímetro, os lados a e c precisam ser iguais, caracterizando o triângulo isósceles.

Passo 5

Substituindo a = c na expressão do perímetro, temos:
P = a + b + a = 2a + b
Agora, substituímos a pela expressão encontrada anteriormente:
P = 2raiz(b2)^2 + h^2 + b

Passo 6

Para garantir que esse é realmente o menor perímetro possível, podemos observar que qualquer alteração em a e c mantendo b e h fixos fará com que um dos lados aumente enquanto o outro diminui, mas a soma a + c sempre será maior ou igual a quando a = c . Isso é uma aplicação do princípio de que, para um dado produto fixo, a soma é minimizada quando os termos são iguais.

Passo 7

Portanto, concluímos que, para minimizar o perímetro P mantendo a base b e a altura h constantes, os lados a e c devem ser iguais, formando assim um triângulo isósceles.

Resposta

Entre todos os triângulos com a mesma base e a mesma altura relativa, o triângulo isósceles possui o menor perímetro.

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