Determine a densidade de cargas devido a cada uma das seguintes densidades de fluxo elétrico:
D=2 cos thetar^3 ar+sin thetar^3 atheta C / m^2

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado da questão pede para determinar a densidade de cargas a partir de uma dada densidade de fluxo elétrico D. Estamos trabalhando com eletrostática, especificamente com o conceito de fluxo elétrico e densidade de carga. Para resolver isso, vamos precisar usar a divergência do campo elétrico D para encontrar a densidade de carga rho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade de carga livre rho pode ser encontrada usando a equação da divergência do campo elétrico:
nabla cdot D = rho
Então, nosso objetivo é calcular a divergência de D.

Passo 3

A expressão dada para D está em coordenadas esféricas:
D = 2 cos thetar^3 ar + sin thetar^3 atheta
Para calcular a divergência em coordenadas esféricas, usamos a seguinte fórmula:
nabla cdot D = 1r^2 partialpartial r(r^2 Dr) + 1r sin theta partialpartial theta(Dtheta sin theta) + 1r sin theta partial Dphipartial phi
Como não há componente em aphi, o último termo será zero.

Passo 4

Vamos calcular cada termo separadamente. Primeiro, o termo em r:
1r^2 partialpartial r(r^2 Dr) = 1r^2 partialpartial r(r^2 cdot 2 cos thetar^3) = 1r^2 partialpartial r(2 cos thetar)
Derivando em relação a r:
partialpartial r(2 cos thetar) = -2 cos thetar^2
Então:
1r^2 cdot (-2 cos thetar^2) = -2 cos thetar^4

Passo 5

Agora, o termo em theta:
1r sin theta partialpartial theta(Dtheta sin theta) = 1r sin theta partialpartial theta(sin thetar^3 cdot sin theta) = 1r sin theta partialpartial theta(sin^2 thetar^3)
Derivando em relação a theta:
partialpartial theta(sin^2 thetar^3) = 2 sin theta cos thetar^3
Então:
1r sin theta cdot 2 sin theta cos thetar^3 = 2 cos thetar^4

Passo 6

Somando os dois termos que calculamos:
-2 cos thetar^4 + 2 cos thetar^4 = 0
E o termo em phi já vimos que é zero. Portanto:
nabla cdot D = 0

Resposta

A densidade de cargas rho é igual a zero.

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