Determine a densidade de cargas devido a cada uma das seguintes densidades de fluxo elétrico:
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado da questão pede para determinar a densidade de cargas a partir de uma dada densidade de fluxo elétrico
. Estamos trabalhando com eletrostática, especificamente com o conceito de fluxo elétrico e densidade de carga. Para resolver isso, vamos precisar usar a divergência do campo elétrico
para encontrar a densidade de carga
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade de carga livre
pode ser encontrada usando a equação da divergência do campo elétrico:
Então, nosso objetivo é calcular a divergência de
.
Passo 3
A expressão dada para
está em coordenadas esféricas:
Para calcular a divergência em coordenadas esféricas, usamos a seguinte fórmula:
Como não há componente em
, o último termo será zero.
Passo 4
Vamos calcular cada termo separadamente. Primeiro, o termo em
:
Derivando em relação a
:
Então:
Passo 5
Agora, o termo em
:
Derivando em relação a
:
Então:
Passo 6
Somando os dois termos que calculamos:
E o termo em
já vimos que é zero. Portanto:
Resposta
A densidade de cargas
é igual a zero.