Determine (a) a densidade de corrente e (b) a velocidade de deriva v_{d} para uma corrente elétrica de 1 mA fluindo por um fio de cobre No. 14. (O diâmetro de um fio No. 14, muito usado em instalações residenciais é 1,63 \mathrm{~mm} ).

Passo 1

O enunciado pede (a) a densidade de corrente J e (b) a velocidade de deriva v_{d} para uma corrente de I=1\text{ mA} fluindo por um fio de cobre tipo No. 14, que tem diâmetro d=1,63\text{ mm}. Para isso vamos precisar de:
  1. cálculo da área da seção transversal do fio;
  2. fórmula J=I/A;
  3. estimativa da densidade de elétrons livres n no cobre (usando sua massa específica, massa molar e número de Avogadro);
  4. relação v_{d}=J/(n\,e), onde e é a carga do elétron.

Passo 2

Calcular a área da seção transversal e a densidade de corrente:
O diâmetro é \,d=1,63\times10^{-3}\,\text{m}, logo a área vale
A=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi\,(1,63\times10^{-3})^{2}}{4} =2,086\times10^{-6}\,\text{m}^{2}.
Como I=1\text{ mA}=1\times10^{-3}\,\text{A}, temos
J=\frac{I}{A}=\frac{1\times10^{-3}}{2,086\times10^{-6}} =4,79\times10^{2}\,\text{A/m}^{2}.

Passo 3

Determinar a densidade de elétrons livres n no cobre:
O cobre tem massa específica \rho=8,96\text{ g/cm}^{3}=8960\text{ kg/m}^{3} e massa molar M=63{,}5\text{ g/mol}=0,0635\text{ kg/mol}. Admitindo um elétron livre por átomo,
n=\frac{\rho}{M}\,N_{A} =\frac{8960}{0,0635}\times6,022\times10^{23} =8,50\times10^{28}\,\text{m}^{-3}.

Passo 4

Calcular a velocidade de deriva v_{d}:
Sabendo que a carga elementar é e=1,602\times10^{-19}\,\text{C}, usa-se
v_{d}=\frac{J}{n\,e} =\frac{4,79\times10^{2}}{(8,50\times10^{28})(1,602\times10^{-19})} =3,52\times10^{-8}\,\text{m/s}.

Resposta

(a) \displaystyle J=4,79\times10^{2}\,\text{A/m}^{2}.
(b) \displaystyle v_{d}=3,52\times10^{-8}\,\text{m/s}.

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