Qual é a probabilidade de que um elétron de condução da prata, na temperatura de 300 K , tenha energia cinética igual a (a) 4,9 \mathrm{eV} ? (b) 5,5 \mathrm{eV} ? e (c) 5,6 \mathrm{eV} ? \mathrm{E}_{\text {F(prata) }}=5,5 \mathrm{eV}. Respostas: (a) { }^{\sim} 1, (b) 0,5 e (c) 0,02 .

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de um elétron de condução na prata, à temperatura de 300\text{ K}, ter energia cinética igual a certos valores em relação ao nível de Fermi \,E_F=5,5\text{ eV}. O conteúdo principal é a estatística de Fermi–Dirac, que descreve a ocupação dos estados eletrônicos em metais.

Passo 2

A probabilidade de ocupação de um estado com energia E é dada pela distribuição de Fermi–Dirac:
f(E) \;=\;\frac{1}{\exp\!\bigl(\,(E - E_F)/(k_B T)\bigr)\;+\;1}
onde k_B é a constante de Boltzmann e T a temperatura absoluta.

Passo 3

Convertendo k_B T para unidades de elétron-volt:
k_B = 8{,}617\times10^{-5}\,\text{eV/K} \quad\Longrightarrow\quad k_B T = 8{,}617\times10^{-5}\times300 \approx 0{,}02585\text{ eV}.

Passo 4

Para E=4,9\text{ eV}:
\frac{E - E_F}{k_B T} = \frac{4{,}9 - 5{,}5}{0{,}02585} \approx -23{,}2,
f(4{,}9) = \frac{1}{\exp(-23{,}2) + 1} \approx \frac{1}{8\times10^{-11} + 1} \approx 1.

Passo 5

Para E=5,5\text{ eV}:
\frac{E - E_F}{k_B T} = \frac{5{,}5 - 5{,}5}{0{,}02585} = 0,
f(5{,}5) = \frac{1}{\exp(0) + 1} = \frac{1}{2} = 0{,}5.

Passo 6

Para E=5,6\text{ eV}:
\frac{E - E_F}{k_B T} = \frac{5{,}6 - 5{,}5}{0{,}02585} \approx 3{,}868,
f(5{,}6) = \frac{1}{\exp(3{,}868) + 1} \approx \frac{1}{47{,}9 + 1} \approx 0{,}02.

Resposta

(a) \sim 1
(b) 0{,}5
(c) 0{,}02

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