Determine a densidade de elétrons livres para os seguintes metais: (a) Estanho, (b) Cobre (c) Alumínio. Os dados necessários deverão ser buscados na Internet.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a densidade de elétrons livres n em três metais: estanho, cobre e alumínio.
Conteúdo: usar o modelo de elétrons livres em metais, que dá
n = \frac{\rho\,N_{A}\,Z}{M},
onde
\bullet \rho é a massa específica do metal (em kg/ m^{3}),
\bullet N_{A}=6{,}022\times10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}} é a constante de Avogadro,
\bullet Z é o número de elétrons livres por átomo (valência metálica),
\bullet M é a massa molar (em kg/mol).
Dados (da Internet): massa específica e massa molar de cada metal; valências típicas: estanho Z=4, cobre Z=1, alumínio Z=3.

Passo 2

Derivimos a fórmula da densidade de elétrons livres a partir da ideia de que cada mol de átomos (massa M) tem N_A átomos, e cada átomo doa Z elétrons. Para volume unitário, temos massa \rho, ou seja \rho/M mols, total de elétrons
n = \Bigl(\frac{\rho}{M}\Bigr)\,N_A\,Z.

Passo 3

Estanho (Sn):
massa específica \rho_{\rm Sn}=7{,}31\,\mathrm{g/cm^3}=7{,}31\times10^3\,\mathrm{kg/m^3},
massa molar M_{\rm Sn}=118{,}71\,\mathrm{g/mol}=0{,}11871\,\mathrm{kg/mol},
valência Z_{\rm Sn}=4.
Portanto
n_{\rm Sn} =\frac{(7{,}31\times10^3)\,(6{,}022\times10^{23})\,(4)}{0{,}11871} \approx1{,}48\times10^{29}\,\mathrm{m^{-3}}.

Passo 4

Cobre (Cu):
massa específica \rho_{\rm Cu}=8{,}96\,\mathrm{g/cm^3}=8{,}96\times10^3\,\mathrm{kg/m^3},
massa molar M_{\rm Cu}=63{,}546\,\mathrm{g/mol}=0{,}063546\,\mathrm{kg/mol},
valência Z_{\rm Cu}=1.
Logo
n_{\rm Cu} =\frac{(8{,}96\times10^3)\,(6{,}022\times10^{23})\,(1)}{0{,}063546} \approx8{,}50\times10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}.

Passo 5

Alumínio (Al):
massa específica \rho_{\rm Al}=2{,}70\,\mathrm{g/cm^3}=2{,}70\times10^3\,\mathrm{kg/m^3},
massa molar M_{\rm Al}=26{,}9815\,\mathrm{g/mol}=0{,}0269815\,\mathrm{kg/mol},
valência Z_{\rm Al}=3.
Assim
n_{\rm Al} =\frac{(2{,}70\times10^3)\,(6{,}022\times10^{23})\,(3)}{0{,}0269815} \approx1{,}81\times10^{29}\,\mathrm{m^{-3}}.

Resposta

n_{\rm Sn}\approx1{,}48\times10^{29}\,\mathrm{m^{-3}} n_{\rm Cu}\approx8{,}50\times10^{28}\,\mathrm{m^{-3}} n_{\rm Al}\approx1{,}81\times10^{29}\,\mathrm{m^{-3}}

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