Determine, dentre as frases abaixo, quais são proposições e quais não são, e explique o porque:
\sqrt{2}<1,4143 e 1,4142<\sqrt{2}.

Passo 1

O enunciado dá duas sentenças matemáticas:
  • \sqrt{2}<1,4143
  • 1,4142<\sqrt{2}
A tarefa é decidir, para cada uma, se é uma proposição ou não e explicar por quê. Ou seja:
  • identificar se cada sentença é uma declaração que tem um valor de verdade bem definido (verdadeira ou falsa);
  • quando for proposição, determinar se é verdadeira ou falsa (justificar).

Passo 2

O que é uma proposição (de forma simples e direta)?
  • Uma proposição é uma frase declarativa que tem um valor de verdade bem definido: ou é verdadeira ou é falsa, não ficando ambígua.
    Frases como “ x é primo” sem especificar x não são proposições (são abertas). Já frases que comparam números concretos (como as dadas) são declarações precisas e, portanto, são proposições desde que se possa decidir se são verdadeiras ou falsas.

Passo 3

Como avaliar as desigualdades dadas? Estratégia prática:
  • Ambas as quantidades envolvidas são números reais positivos ( \sqrt{2}>0 e os números decimais também).
  • Para números reais não-negativos, a função f(x)=x^2 é estritamente crescente: se 0\le a<b então a^2<b^2. Justificativa curta: \text{se }0\le a<b\text{ então }b-a>0\Rightarrow (b+a)(b-a)=b^2-a^2>0\Rightarrow a^2<b^2.ã
  • Portanto, para comparar a com \sqrt{2} (quando a\ge0) podemos comparar a^2 com 2. Isso evita trabalhar com aproximações longas; basta calcular o quadrado do decimal e ver se é menor, igual ou maior que 2.

Passo 4

Calcular 1,4142^2 passo a passo (usar representação racional facilita a conta):
1,4142=\frac{14142}{10000}.
Logo
1,4142^2=\left(\frac{14142}{10000}\right)^2=\frac{14142^2}{10^8}.
Agora calcular 14142^2. Fazer por decomposição:
14142^2=14142\cdot14142=14142\cdot(14000+142)=14142\cdot14000+14142\cdot142.
Calcule cada termo:
14142\cdot14000=197988000,
14142\cdot142=14142\cdot(100+40+2)=1414200+565680+28284=2008164.
Somando:
14142^2=197988000+2008164=199996164.
Assim
1,4142^2=\frac{199996164}{10^8}=1,99996164.
Como 1,99996164<2, segue que
1,4142^2<2 \quad\Rightarrow\quad 1,4142<\sqrt{2}.

Passo 5

Calcular 1,4143^2 de forma análoga:
1,4143=\frac{14143}{10000},
1,4143^2=\left(\frac{14143}{10000}\right)^2=\frac{14143^2}{10^8}.
Calcule 14143^2 por decomposição:
14143^2=14143\cdot14143=14143\cdot(14000+143)=14143\cdot14000+14143\cdot143.
Calcule os termos:
14143\cdot14000=198002000,
14143\cdot143=14143\cdot(100+40+3)=1414300+565720+42429=2022449.
Somando:
14143^2=198002000+2022449=200024449.
Logo
1,4143^2=\frac{200024449}{10^8}=2,00024449.
Como 2,00024449>2, segue que
1,4143^2>2 \quad\Rightarrow\quad 1,4143>\sqrt{2},
ou, equivalentemente,
\sqrt{2}<1,4143.

Passo 6

Conclusões lógicas e finais (explicação do porquê são proposições):
  • Cada uma das duas frases é uma comparação numérica precisa entre números reais bem definidos. Não há variáveis livres nem ambiguidade: portanto cada frase é uma proposição (tem valor de verdade bem definido).
  • Usando os cálculos dos quadrados, obteve-se que ambas as proposições são verdadeiras:
    • 1,4142<\sqrt{2} é verdadeira porque 1,4142^2=1,99996164<2.
    • \sqrt{2}<1,4143 é verdadeira porque 1,4143^2=2,00024449>2.
Pequeno incentivo: sempre que comparar uma raiz (ou qualquer número irracional conhecido) com um decimal curto, elevar ao quadrado (quando apropriado) é um truque simples e seguro para decidir a desigualdade sem recorrer a muitas casas decimais.

Resposta

\sqrt{2}<1,4143 : proposição verdadeira.
1,4142<\sqrt{2} : proposição verdadeira.

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