Determine, dentre as frases abaixo, quais são proposições e quais não são, e explique o porque:
Se
, então
ou
.
Se
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado nos dá e o que ele pede. A frase fornecida é:
O enunciado pede que se determine se essa(s) frase(s) é(são) proposição(ões) ou não, e que se explique o porquê. Aqui só há uma frase, contendo as variáveis
e
.
Passo 2
Definição (em linguagem simples, sem jargão pesado): uma proposição é uma frase declarativa que tem um valor de verdade bem definido (ou verdadeira ou falsa). Uma frase que contém variáveis livres (não quantificadas) — por exemplo,
— não tem um valor de verdade fixo até que se diga para quais valores de
estamos falando; chamamos isso de sentença aberta ou função proposicional. Só quando adicionamos quantificadores (por exemplo
ou
) ou fixamos valores para as variáveis, obtemos uma proposição.
Passo 3
Aplicando isso à frase dada: ela contém as variáveis livres
e
e não especifica o domínio (números reais? inteiros? elementos de um anel qualquer?). Assim, tal qual está escrita, NÃO é uma proposição — é uma sentença aberta (uma condição sobre
e
). Não podemos afirmar que ela seja verdadeira ou falsa sem dizer sobre que conjunto ou sem quantificá-la.
Passo 4
Como transformar em proposição? Duas maneiras típicas:
- Fixar os valores de
e . Por exemplo, para e a frase vira uma proposição (verdadeira nesse caso). - Colocar quantificadores e especificar o domínio. Por exemplo,
é agora uma proposição (uma afirmação universal sobre
). Note que a verdade dela pode depender do domínio escolhido.
Passo 5
Vamos estudar a verdade dessa proposição universal em domínios comuns.
Primeiro, no domínio
(números reais). Prova de que a proposição é verdadeira em
:
- Suponha
e . - Se
já temos a conclusão . Caso contrário, se , então como é um corpo cada elemento não nulo tem inverso multiplicativo . Multiplicando por obtemos
- Logo, em qualquer caso
ou . Portanto a proposição é verdadeira quando o domínio é (ou, de forma mais geral, qualquer domínio sem divisores de zero, como , ou qualquer corpo ou domínio íntegro).
Passo 6
Agora mostro que a veracidade depende do domínio: em estruturas com divisores de zero a afirmação é falsa. Exemplo concreto em
(inteiros módulo
):
- Em
temos e , mas
- Aqui
, satisfazem porém nem nem . Assim a proposição
é falsa. Conclusão: em anéis com divisores de zero a afirmação não vale em geral.
Passo 7
Resumo didático (como reconhecer rápido em prova):
- Se a frase tem variáveis livres e não especifica domínio/quantificadores, diga: “não é proposição (sentença aberta)”.
- Se pedirem para torná-la proposição, acrescente quantificadores e um domínio explícito, por exemplo
. - Depois verifique o domínio: em domínios íntegros (sem divisores de zero) a versão universal é verdadeira; em domínios com divisores de zero pode ser falsa (buscar contraexemplo).
Resposta
A frase, tal como está (com
e
livres), não é proposição — é uma sentença aberta.
Se quantificarmos e tomarmos o domínio como (ou outro domínio sem divisores de zero), a proposição
é verdadeira.
Se o domínio tiver divisores de zero (por exemplo ), a proposição é falsa — contraexemplo:
com
e
.
Se quantificarmos e tomarmos o domínio como
é verdadeira.
Se o domínio tiver divisores de zero (por exemplo