Determine, dentre as frases abaixo, quais são proposições e quais não são, e explique o porque:
Se x \cdot y=0, então x=0 ou y=0.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado nos dá e o que ele pede. A frase fornecida é:
\text{Se } x\cdot y=0,\\ \text{então } x=0 \text{ ou } y=0.ã
O enunciado pede que se determine se essa(s) frase(s) é(são) proposição(ões) ou não, e que se explique o porquê. Aqui só há uma frase, contendo as variáveis x e y.

Passo 2

Definição (em linguagem simples, sem jargão pesado): uma proposição é uma frase declarativa que tem um valor de verdade bem definido (ou verdadeira ou falsa). Uma frase que contém variáveis livres (não quantificadas) — por exemplo, x>0 — não tem um valor de verdade fixo até que se diga para quais valores de x estamos falando; chamamos isso de sentença aberta ou função proposicional. Só quando adicionamos quantificadores (por exemplo \forall x ou \exists x) ou fixamos valores para as variáveis, obtemos uma proposição.

Passo 3

Aplicando isso à frase dada: ela contém as variáveis livres x e y e não especifica o domínio (números reais? inteiros? elementos de um anel qualquer?). Assim, tal qual está escrita, NÃO é uma proposição — é uma sentença aberta (uma condição sobre x e y). Não podemos afirmar que ela seja verdadeira ou falsa sem dizer sobre que conjunto ou sem quantificá-la.

Passo 4

Como transformar em proposição? Duas maneiras típicas:
  1. Fixar os valores de x e y. Por exemplo, para x=2 e y=0 a frase vira uma proposição (verdadeira nesse caso).
  2. Colocar quantificadores e especificar o domínio. Por exemplo,
\forall x\in\mathbb{R}\\ \forall y\in\mathbb{R}\\ \bigl(x\cdot y=0 \Rightarrow x=0 \vee y=0\bigr)
é agora uma proposição (uma afirmação universal sobre \mathbb{R}\times\mathbb{R}). Note que a verdade dela pode depender do domínio escolhido.

Passo 5

Vamos estudar a verdade dessa proposição universal em domínios comuns.
Primeiro, no domínio \mathbb{R} (números reais). Prova de que a proposição é verdadeira em \mathbb{R}:
  • Suponha x,y\in\mathbb{R} e x\cdot y=0.
  • Se x=0 já temos a conclusão x=0\vee y=0. Caso contrário, se x\neq0, então como \mathbb{R} é um corpo cada elemento não nulo tem inverso multiplicativo x^{-1}. Multiplicando x\cdot y=0 por x^{-1} obtemos
y = x^{-1}\cdot (x\cdot y) = x^{-1}\cdot 0 = 0.
  • Logo, em qualquer caso x=0 ou y=0. Portanto a proposição é verdadeira quando o domínio é \mathbb{R} (ou, de forma mais geral, qualquer domínio sem divisores de zero, como \mathbb{Q}, \mathbb{Z} ou qualquer corpo ou domínio íntegro).

Passo 6

Agora mostro que a veracidade depende do domínio: em estruturas com divisores de zero a afirmação é falsa. Exemplo concreto em \mathbb{Z}_6 (inteiros módulo 6):
  • Em \mathbb{Z}_6 temos 2\not\equiv0 e 3\not\equiv0, mas
2\cdot 3 \equiv 6 \equiv 0 \pmod{6}.
  • Aqui x=2, y=3 satisfazem x\cdot y=0 porém nem x=0 nem y=0. Assim a proposição
\forall x\in\mathbb{Z}_6\\ \forall y\in\mathbb{Z}_6\\ (x y=0 \Rightarrow x=0 \vee y=0)
é falsa. Conclusão: em anéis com divisores de zero a afirmação não vale em geral.

Passo 7

Resumo didático (como reconhecer rápido em prova):
  • Se a frase tem variáveis livres e não especifica domínio/quantificadores, diga: “não é proposição (sentença aberta)”.
  • Se pedirem para torná-la proposição, acrescente quantificadores e um domínio explícito, por exemplo \forall x\in D\\ \forall y\in D\\ (\ldots).
  • Depois verifique o domínio: em domínios íntegros (sem divisores de zero) a versão universal é verdadeira; em domínios com divisores de zero pode ser falsa (buscar contraexemplo).

Resposta

A frase, tal como está (com x e y livres), não é proposição — é uma sentença aberta.
Se quantificarmos e tomarmos o domínio como \mathbb{R} (ou outro domínio sem divisores de zero), a proposição
\forall x\in\mathbb{R}\,\forall y\in\mathbb{R}\,(x y=0\Rightarrow x=0\vee y=0)
é verdadeira.
Se o domínio tiver divisores de zero (por exemplo \mathbb{Z}_6), a proposição é falsa — contraexemplo: 2\cdot3\equiv0\pmod{6} com 2\not\equiv0 e 3\not\equiv0.

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