Determine, dentre as frases abaixo, quais são proposições e quais não são, e explique o porque:
A função seno (real) assume valores no intervalo
.
A função seno (real) assume valores no intervalo
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede:
- Frase dada: A função seno (real) assume valores no intervalo
. - Pedido: determinar se essa frase é uma proposição ou não, e explicar o porquê.
Passo 2
O que é uma proposição (explicação didática, passo a passo, sem pressupor que já saiba):
- Uma proposição é uma frase declarativa que tem um valor de verdade bem definido: ou é verdadeira ou é falsa (não pode ser ambas nem indefinida).
- Exemplos curtos para fixar a ideia:
-
é uma proposição (verdadeira). -
é uma proposição (falsa). - “Vai chover amanhã?” não é proposição (é uma pergunta).
-
não é proposição se é uma variável livre (porque seu valor de verdade depende do valor de ).
-
- Portanto, para decidir se a frase dada é proposição perguntamos: ela é uma afirmação (não pergunta/ordem) e tem valor de verdade bem definido (independente de ambiguidades)?
Passo 3
Verificação inicial da frase dada quanto às condições de proposição:
- A frase é declarativa (afirma algo), não é uma pergunta nem um pedido, então passa no primeiro teste.
- Resta checar se há ambiguidade que impeça atribuir um valor de verdade bem definido. Há duas leituras possíveis que alguém poderia pensar:
- Leitura fraca (existencial): “Existe algum
tal que .” - Leitura natural (universal): “Para todo
, ”, isto é, a imagem da função seno (domínio ) está contida em .
- Leitura fraca (existencial): “Existe algum
- Ambas as leituras são frases declarativas e têm valor de verdade definido; a leitura mais natural da frase original é a universal (a afirmação sobre os valores que a função pode assumir). Vou trabalhar com essa leitura natural porque é assim que normalmente se entende “assume valores no intervalo
”.
Passo 4
Provar que a afirmação (leitura universal) é verdadeira — razões e pouco a pouco:
- Começo com uma identidade trigonométrica fundamental válida para todo
:
- Aqui
significa . A identidade diz que a soma dos quadrados do seno e do cosseno é . - Como
para todo (um quadrado nunca é negativo), da identidade segue que
- Se
então . Explicando: , e a raiz quadrada preserva a desigualdade não-negativa, logo . - Da desigualdade
obtemos explicitamente
- Essa cadeia de desigualdades vale para todo
. Em linguagem de conjuntos, a imagem (ou valor) da função seno satisfaz . - Conclusão: a frase, na leitura natural “para todo
, ”, é verdadeira.
Passo 5
Observação adicional (didática, para saber usar isso na prova):
- Às vezes o enunciado poderia querer dizer algo mais forte, por exemplo “a função seno assume todos os valores do intervalo
” (isto é, a imagem é exatamente , não só contida). Essa versão também é verdadeira: para todo existe com (pode-se usar a função ou o Teorema do Valor Intermediário sobre a continuidade de ). Mas atenção: essa é uma afirmação levemente diferente (surjetividade sobre ) — sempre que puder na prova, escreva a forma precisa (com quantificadores) para evitar ambiguidade.
Resposta
A função seno (real) assume valores no intervalo
. — É uma proposição (verdadeira).