Determine, dentre as frases abaixo, quais são proposições e quais não são, e explique o porque:
A função seno (real) assume valores no intervalo [-1,1].

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede:
  • Frase dada: A função seno (real) assume valores no intervalo [-1,1].
  • Pedido: determinar se essa frase é uma proposição ou não, e explicar o porquê.

Passo 2

O que é uma proposição (explicação didática, passo a passo, sem pressupor que já saiba):
  • Uma proposição é uma frase declarativa que tem um valor de verdade bem definido: ou é verdadeira ou é falsa (não pode ser ambas nem indefinida).
  • Exemplos curtos para fixar a ideia:
    • 2+2=4 é uma proposição (verdadeira).
    • 2>3 é uma proposição (falsa).
    • “Vai chover amanhã?” não é proposição (é uma pergunta).
    • x+1=0 não é proposição se x é uma variável livre (porque seu valor de verdade depende do valor de x).
  • Portanto, para decidir se a frase dada é proposição perguntamos: ela é uma afirmação (não pergunta/ordem) e tem valor de verdade bem definido (independente de ambiguidades)?

Passo 3

Verificação inicial da frase dada quanto às condições de proposição:
  • A frase é declarativa (afirma algo), não é uma pergunta nem um pedido, então passa no primeiro teste.
  • Resta checar se há ambiguidade que impeça atribuir um valor de verdade bem definido. Há duas leituras possíveis que alguém poderia pensar:
    1. Leitura fraca (existencial): “Existe algum x\in\mathbb{R} tal que \sin x\in[-1,1].”
    2. Leitura natural (universal): “Para todo x\in\mathbb{R}, \sin x\in[-1,1]”, isto é, a imagem da função seno (domínio \mathbb{R}) está contida em [-1,1].
  • Ambas as leituras são frases declarativas e têm valor de verdade definido; a leitura mais natural da frase original é a universal (a afirmação sobre os valores que a função pode assumir). Vou trabalhar com essa leitura natural porque é assim que normalmente se entende “assume valores no intervalo [-1,1]”.

Passo 4

Provar que a afirmação (leitura universal) é verdadeira — razões e pouco a pouco:
  • Começo com uma identidade trigonométrica fundamental válida para todo x\in\mathbb{R}:
\sin^2 x + \cos^2 x = 1.
  • Aqui \sin^2 x significa (\sin x)^2. A identidade diz que a soma dos quadrados do seno e do cosseno é 1.
  • Como \cos^2 x \ge 0 para todo x (um quadrado nunca é negativo), da identidade segue que
\sin^2 x \le 1.
  • Se \sin^2 x \le 1 então |\sin x| \le 1. Explicando: |\sin x| = \sqrt{\sin^2 x}, e a raiz quadrada preserva a desigualdade não-negativa, logo \sqrt{\sin^2 x}\le\sqrt{1}=1.
  • Da desigualdade |\sin x|\le 1 obtemos explicitamente
-1 \le \sin x \le 1.
  • Essa cadeia de desigualdades vale para todo x\in\mathbb{R}. Em linguagem de conjuntos, a imagem (ou valor) da função seno satisfaz \operatorname{Im}(\sin)\subseteq[-1,1].
  • Conclusão: a frase, na leitura natural “para todo x\in\mathbb{R}, \sin x\in[-1,1]”, é verdadeira.

Passo 5

Observação adicional (didática, para saber usar isso na prova):
  • Às vezes o enunciado poderia querer dizer algo mais forte, por exemplo “a função seno assume todos os valores do intervalo [-1,1]” (isto é, a imagem é exatamente [-1,1], não só contida). Essa versão também é verdadeira: para todo y\in[-1,1] existe x\in\mathbb{R} com \sin x = y (pode-se usar a função \arcsin ou o Teorema do Valor Intermediário sobre a continuidade de \sin). Mas atenção: essa é uma afirmação levemente diferente (surjetividade sobre [-1,1]) — sempre que puder na prova, escreva a forma precisa (com quantificadores) para evitar ambiguidade.

Resposta

A função seno (real) assume valores no intervalo [-1,1]. — É uma proposição (verdadeira).

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