Determine, dentre as seguintes séries, qual delas é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ;
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a gente tem aqui! Temos a série e precisamos descobrir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
Convergente Absolutamente: Se a série dos valores absolutos converge, então a série original também converge, absolutamente.
Convergente Condicionalmente: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge, então a convergência é condicional.
Divergente: Se a série original não converge, então ela é divergente.
Passo 3
Vamos começar verificando a convergência absoluta. Isso significa que vamos analisar a série dos valores absolutos:
Observa que |sin n| <= 1 para todo n. Assim, podemos comparar nossa série com uma série que sabemos convergir:
|sin n|n^2 <= 1n^2
Passo 4
Sabemos que a série sumn=1^infty 1n^2 é uma série p com p = 2. Séries p convergem quando p > 1, então essa série específica converge.
Passo 5
Como a série dos valores absolutos sum |sin n|n^2 é menor ou igual a uma série que converge, pela Teste da Comparação, nossa série de valores absolutos também converge.
Passo 6
Já que a série dos valores absolutos converge, podemos concluir que a série original sum sin nn^2 é absolutamente convergente.
Resposta
A série sumn=1^infty sin nn^2 é absolutamente convergente.