Determine, dentre as seguintes séries, qual delas é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty sen nn^2;

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a gente tem aqui! Temos a série sumn=1^infty sin nn^2 e precisamos descobrir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
  • Convergente Absolutamente: Se a série dos valores absolutos sum |an| converge, então a série original também converge, absolutamente.
  • Convergente Condicionalmente: Se a série original sum an converge, mas a série dos valores absolutos sum |an| não converge, então a convergência é condicional.
  • Divergente: Se a série original não converge, então ela é divergente.

Passo 3

Vamos começar verificando a convergência absoluta. Isso significa que vamos analisar a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | sin nn^2 | = sumn=1^infty |sin n|n^2
Observa que |sin n| <= 1 para todo n. Assim, podemos comparar nossa série com uma série que sabemos convergir:
|sin n|n^2 <= 1n^2

Passo 4

Sabemos que a série sumn=1^infty 1n^2 é uma série p com p = 2. Séries p convergem quando p > 1, então essa série específica converge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos sum |sin n|n^2 é menor ou igual a uma série que converge, pela Teste da Comparação, nossa série de valores absolutos também converge.

Passo 6

Já que a série dos valores absolutos converge, podemos concluir que a série original sum sin nn^2 é absolutamente convergente.

Resposta

A série sumn=1^infty sin nn^2 é absolutamente convergente.

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