Utilize o teste de Leibniz, para mostrar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty (-1)^n+14 n^2+1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma série alternada, ou seja, os termos mudam de sinal a cada nova parcela. O exercício pede para usar o Teste de Leibniz para mostrar se a série sumn=1^infty (-1)^n+14 n^2+1 converge. O conteúdo que vamos precisar envolve entender esse teste, que é uma forma de verificar a convergência de séries alternadas. Vamos precisar verificar duas coisas: se os termos estão diminuindo e se eles se aproximam de zero quando n cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da nossa série. No caso, o termo geral é:
an = (-1)^n+14n^2 + 1
Aqui, o fator (-1)^n+1 faz a alternância dos sinais. Para aplicar o Teste de Leibniz, vamos focar na parte que está sem o sinal alternado, que é:
bn = 14n^2 + 1

Passo 3

Agora, precisamos verificar se bn está decrecendo conforme n aumenta. Ou seja, precisamos mostrar que bn+1 < bn para todo n .
Vamos comparar:
bn+1 = 14(n+1)^2 + 1 bn = 14n^2 + 1
Observamos que, conforme n aumenta, o denominador 4n^2 + 1 também aumenta, fazendo com que bn diminua. Então, bn+1 < bn .

Passo 4

O próximo passo é verificar o limite de bn quando n tende ao infinito:
limn to infty bn = limn to infty 14n^2 + 1 = 0
Isso porque, conforme n fica muito grande, o termo 4n^2 domina no denominador, fazendo com que toda a expressão se aproxime de zero.

Resposta

Como verificamos que bn é uma sequência decrescente e que seu limite é zero, pelo Teste de Leibniz, a série sumn=1^infty (-1)^n+14 n^2+1 converge.

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