Utilize o teste de Leibniz, para mostrar a convergência das seguintes séries:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma série alternada, ou seja, os termos mudam de sinal a cada nova parcela. O exercício pede para usar o Teste de Leibniz para mostrar se a série
converge. O conteúdo que vamos precisar envolve entender esse teste, que é uma forma de verificar a convergência de séries alternadas. Vamos precisar verificar duas coisas: se os termos estão diminuindo e se eles se aproximam de zero quando
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da nossa série. No caso, o termo geral é:
Aqui, o fator
faz a alternância dos sinais. Para aplicar o Teste de Leibniz, vamos focar na parte que está sem o sinal alternado, que é:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se
está decrecendo conforme
aumenta. Ou seja, precisamos mostrar que
para todo
.
Vamos comparar:
Observamos que, conforme
aumenta, o denominador
também aumenta, fazendo com que
diminua. Então,
.
Passo 4
O próximo passo é verificar o limite de
quando
tende ao infinito:
Isso porque, conforme
fica muito grande, o termo
domina no denominador, fazendo com que toda a expressão se aproxime de zero.
Resposta
Como verificamos que
é uma sequência decrescente e que seu limite é zero, pelo Teste de Leibniz, a série
converge.