Utilize o teste de Leibniz, para mostrar a convergência das seguintes séries:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para mostrar que a série
converge usando o teste de Leibniz. O que isso significa? Basicamente, vamos verificar se a série alternada satisfaz certos critérios que garantem sua convergência. Para isso, precisamos entender como funciona o teste de Leibniz e aplicar passo a passo na nossa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste de Leibniz. Ele é usado para determinar a convergência de séries alternadas, ou seja, séries que têm termos que mudam de sinal. O teste diz que uma série da forma
converge se duas condições forem satisfeitas:
- A sequência
é decrescente, ou seja, cada termo é menor ou igual ao anterior. - O limite de
quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
Passo 3
Vamos identificar
na nossa série. Na série
, temos:
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é decrescente. Para isso, podemos comparar
com
:
Como
Passo 5
Agora, vamos verificar o limite de
quando
tende ao infinito:
Isso porque, à medida que
Resposta
Como a sequência
é decrescente e seu limite é zero, pelo teste de Leibniz, a série
converge.