Utilize o teste de Leibniz, para mostrar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty(-1)^n 24 n+1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para mostrar que a série sumn=1^infty(-1)^n 24n+1 converge usando o teste de Leibniz. O que isso significa? Basicamente, vamos verificar se a série alternada satisfaz certos critérios que garantem sua convergência. Para isso, precisamos entender como funciona o teste de Leibniz e aplicar passo a passo na nossa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste de Leibniz. Ele é usado para determinar a convergência de séries alternadas, ou seja, séries que têm termos que mudam de sinal. O teste diz que uma série da forma sumn=1^infty (-1)^n an converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. A sequência an é decrescente, ou seja, cada termo é menor ou igual ao anterior.
  2. O limite de an quando n tende ao infinito é zero, ou seja, limn to infty an = 0.

Passo 3

Vamos identificar an na nossa série. Na série sumn=1^infty(-1)^n 24n+1, temos:
an = 24n+1

Passo 4

Agora, vamos verificar se an é decrescente. Para isso, podemos comparar an com an+1:
an = 24n+1
an+1 = 24(n+1)+1 = 24n+5
Como 4n+5 > 4n+1, então 24n+5 < 24n+1. Ou seja, an+1 < an. Portanto, a sequência an é decrescente.

Passo 5

Agora, vamos verificar o limite de an quando n tende ao infinito:
limn to infty an = limn to infty 24n+1 = 0
Isso porque, à medida que n cresce, o denominador 4n+1 também cresce sem limites, fazendo com que a fração tende a zero.

Resposta

Como a sequência an = 24n+1 é decrescente e seu limite é zero, pelo teste de Leibniz, a série sumn=1^infty(-1)^n 24n+1 converge.

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