Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências: ;
Passo 1
Beleza, bora resolver esse exercício! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
Isso faz parte do conteúdo de séries de potências em Cálculo, e vamos precisar usar o Teste da Razão para descobrir onde essa série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz até que distância a série converge em relação ao ponto central, que nesse caso é .
Para encontrar o raio, usamos o Teste da Razão, que envolve calcular o limite:
Se L < 1 , a série converge.
Passo 3
Vamos identificar o termo geral an da nossa série:
an = 1n(x-3)^n
Agora, calculamos an+1 :
an+1 = 1n+1(x-3)^n+1
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão, temos:
L = limn to infty | 1n+1(x-3)^n+11n(x-3)^n | = limn to infty | nn+1(x-3) |
Simplificando:
L = |x-3| cdot limn to infty nn+1 = |x-3| cdot 1 = |x-3|
Passo 5
Para a série convergir, precisamos que L < 1 :
|x-3| < 1
Isso significa que a distância de x até 3 deve ser menor que 1.
Passo 6
Resolvendo a desigualdade:
-1 < x - 3 < 1
Somando 3 em todos os lados:
2 < x < 4
Então, o intervalo de convergência inicialmente é de 2 a 4.
Passo 7
Agora, precisamos verificar as extremidades do intervalo para ver se a série converge nesses pontos.
Primeiro, para x = 2 :
sumn=1^infty 1n(2-3)^n = sumn=1^infty (-1)^nn
Essa é a série alternada harmonica, que converge.
Agora, para x = 4 :
sumn=1^infty 1n(4-3)^n = sumn=1^infty 1n
Essa é a série harmônica, que diverge.
Resposta
O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é 2 <= x < 4 .