Determine, dentre as seguintes séries, qual delas é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty n^n3^3 n+1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série sumn=1^infty n^n3^3n+1 é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a entender o comportamento de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
  • Convergente Absoluto: A série converge mesmo se considerarmos todos os termos em valor absoluto.
  • Convergente Condicional: A série converge, mas não converge absolutamente.
  • Divergente: A série não converge.
Para descobrir qual é o caso dessa série, vamos aplicar o Teste da Raiz, que é útil quando temos termos envolvendo potências como n^n.

Passo 3

O Teste da Raiz funciona assim: calculamos o limite limn to infty raiz[n]|an|, onde an é o termo geral da série. Se esse limite for:
  • Menor que 1: a série converge absolutamente.
  • Maior que 1: a série diverge.
  • Igual a 1: o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 4

Primeiro, identificamos an = n^n3^3n+1.
Agora, calculamos raiz[n]|an|:
raiz[n]n^n3^3n+1 = raiz[n]n^nraiz[n]3^3n+1
Simplificando:
n3^3 + 1n = n3^3 cdot 3^1n = n27 cdot 3^1n

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento de cada parte conforme n vai para o infinito:
  • n tende a infinito.
  • 3^1n tende a 1, já que 1n tende a 0 e qualquer número elevado a 0 é 1.
Portanto, o limite fica:
limn to infty n27 cdot 1 = limn to infty n27 = infty

Passo 6

Como o limite encontrado é infty, que é maior que 1, o Teste da Raiz nos diz que a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty n^n3^3n+1 é divergente.

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