Determine, dentre as seguintes séries, qual delas é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a entender o comportamento de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
- Convergente Absoluto: A série converge mesmo se considerarmos todos os termos em valor absoluto.
- Convergente Condicional: A série converge, mas não converge absolutamente.
- Divergente: A série não converge.
Para descobrir qual é o caso dessa série, vamos aplicar o Teste da Raiz, que é útil quando temos termos envolvendo potências como
.
Passo 3
O Teste da Raiz funciona assim: calculamos o limite
, onde
é o termo geral da série. Se esse limite for:
- Menor que 1: a série converge absolutamente.
- Maior que 1: a série diverge.
- Igual a 1: o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série.
Passo 4
Primeiro, identificamos
.
Agora, calculamos
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, analisamos o comportamento de cada parte conforme
vai para o infinito:
-
tende a infinito. -
tende a 1, já que tende a 0 e qualquer número elevado a 0 é 1.
Portanto, o limite fica:
Passo 6
Como o limite encontrado é
, que é maior que 1, o Teste da Raiz nos diz que a série diverge.
Resposta
A série
é divergente.