Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
sumn=0^infty 1n+1(x+2)^n;

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é a série de potências
sumn=0^infty 1n+1,(x+2)^n
Isso faz parte do capítulo de “Séries de Potências” em Cálculo, onde a gente aprende a achar o raio de convergência R (até onde, em torno do centro, a série converge) e depois o intervalo de convergência (com ou sem os extremos). Para resolver, vamos usar o Teste da Razão pra achar R e depois checar os extremos com o Teste da Convergência de Séries Alternadas e o Teste da Série Harmônica.

Passo 2

Vamos aplicar o Teste da Razão. Seja
an = 1n+1, un = an,(x+2)^n
O critério diz que a série converge se
L = limntoinfty|un+1un| < 1
Calculando:
un+1un = tfrac1(n+2),(x+2)^n+1tfrac1(n+1),(x+2)^n = n+1n+2,l|x+2r|
Agora o limite quando ntoinfty:
L = limntoinftyn+1n+2,l|x+2r| = 1cdot |x+2|
Para convergir, precisamos de
|x+2| < 1
Isso dá o raio de convergência
R = 1

Passo 3

A condição |x+2|<1 vira, em forma de desigualdade:
-1 < x+2 < 1 Longrightarrow -3 < x < -1
Isso é o intervalo aberto de convergência (-3,-1). Agora a gente precisa ver se a série também converge em x=-3 e/ou em x=-1.

Passo 4

  1. Em x=-3, temos x+2 = -1. A série fica
sumn=0^infty 1n+1,(-1)^n = sumn=0^infty (-1)^nn+1
Isso é a série alternada sum(-1)^n bn com bn=1/(n+1) decrescente a zero. Pelo Teste de Leibniz, ela converge (mas não absolutamente).
  1. Em x=-1, temos x+2 = 1. A série vira
sumn=0^infty 1n+1,1^n = sumn=0^infty 1n+1,
que é essencialmente a série harmônica deslocada e diverge.

Resposta

Raio de convergência:
R = 1
Intervalo de convergência:
[-3,,-1)

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