Determine a derivada de r(t)=(1+t^33) i+t ln t j+cos (-4 t) kz t>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função vetorial r(t) = (1+t^33) i + t ln t j + cos(-4 t) kz para t > 0. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar cada componente da função em relação a t.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a componente na direção do i. A função é 1 + t^33. Derivando termo a termo:
ddt(1 + t^33) = 0 + 3t^23 = t^2

Passo 3

Agora, vamos para a componente na direção do j. A função é t ln t. Aqui, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de u cdot v é u' cdot v + u cdot v'.
Sea u = t e v = ln t, então:
u' = 1 e v' = 1t
Aplicando a regra:
ddt(t ln t) = 1 cdot ln t + t cdot 1t = ln t + 1

Passo 4

Finalmente, vamos derivar a componente na direção do kz. A função é cos(-4t). Sabemos que a derivada de cos(at) é -a sin(at). Então:
ddt cos(-4t) = -(-4) sin(-4t) = 4 sin(-4t)
Mas como sin(-x) = -sin x, isso simplifica para:
4 cdot (-sin 4t) = -4 sin 4t

Passo 5

Agora, juntando todas as derivadas das componentes, temos a derivada da função vetorial r(t):
r'(t) = t^2 i + (ln t + 1) j - 4 sin 4t kz

Resposta

A derivada de r(t) é r'(t) = t^2 i + (ln t + 1) j - 4 sin 4t kz.

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