Se r(t)=lang<=(t-2)^5, e^3 t, ln trang<=, calcule integral1^2 r(t) d t.

Passo 1

Aqui a gente tem a função vetor r(t)=lang<= (t-2)^5,;e^3t,;ln trang<= e precisa calcular a integral definida
integral1^2r(t),dt
ou seja, integrar cada componente de r(t) de t=1 até t=2. Vamos usar mudança de variável para a primeira componente, a regra de integral de exponencial para a segunda e integração por partes para a terceira.

Passo 2

A primeira componente é
integral1^2(t-2)^5,dt
Fazendo u=t-2 implica du=dt, então
integral (t-2)^5,dt=integral u^5,du=u^66=(t-2)^66
Avaliando de 1 a 2:
(2-2)^66-(1-2)^66=0-(-1)^66=-16

Passo 3

A segunda componente é
integral1^2e^3t,dt
Como integral e^3t,dt=13e^3t, avaliamos:
13e^3t|1^2=e^63-e^33=e^6-e^33

Passo 4

A terceira componente é
integral1^2ln t,dt
Usamos integração por partes com u=ln t e dv=dt, então du=1tdt e v=t. Logo
integralln t,dt=tln t-integral tcdot1tdt=tln t-t
Avaliando de 1 a 2:
l(2ln2-2r)-l(1cdot0-1r)=2ln2-2+1=2ln2-1

Passo 5

Juntando tudo, o resultado é o vetor
integral1^2r(t),dt=gllang<= -tfrac16,;tfrace^6-e^33,;2ln2-1grrang<=

Resposta

lang<= -tfrac16,;tfrace^6-e^33,;2ln2-1rang<=

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