Esboce as curvas de nível da função
para os valores
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar (esboçar) as curvas de nível da função
para os valores
. Curvas de nível são aquelas que representam todos os pontos
onde a função assume um valor constante
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho de funções de duas variáveis e como encontrar essas curvas usando equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma curva de nível. Basicamente, para cada valor de
, temos a equação:
Substituindo a função dada:
Passo 3
Nosso próximo passo é resolver essa equação para
, assim conseguimos uma expressão que relaciona
com
para cada
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos fazer isso para cada valor de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Cada uma dessas equações representa uma parábola que abre para cima (já que o coeficiente de
é positivo). A diferença está na posição vertical de cada curva, que muda de acordo com o valor de
.
Passo 6
Para esboçar as curvas, podemos identificar os vértices de cada parábola:
-
Para
:
Vértice em -
Para
:
Vértice em -
Para
:
Vértice em
Passo 7
Com esses vértices e sabendo que as parábolas abrem para cima, podemos desenhar cada curva deslocando a parábola básica
para cima ou para baixo conforme o valor de
.
Resposta
As curvas de nível da função
para os valores
são parábolas dadas por:
Essas parábolas abrem para cima e estão posicionadas verticalmente conforme os valores de
.