Esboce as curvas de nível da função f(x, y)=1-3 x^2+2 y para os valores k=-6,0,6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar (esboçar) as curvas de nível da função f(x, y) = 1 - 3x^2 + 2y para os valores k = -6, 0, 6 . Curvas de nível são aquelas que representam todos os pontos (x, y) onde a função assume um valor constante k . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho de funções de duas variáveis e como encontrar essas curvas usando equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma curva de nível. Basicamente, para cada valor de k , temos a equação:
f(x, y) = k
Substituindo a função dada:
1 - 3x^2 + 2y = k

Passo 3

Nosso próximo passo é resolver essa equação para y , assim conseguimos uma expressão que relaciona y com x para cada k :
2y = k + 3x^2 - 1
y = k + 3x^2 - 12
Simplificando:
y = 32x^2 + k - 12

Passo 4

Agora, vamos fazer isso para cada valor de k :
  1. Para k = -6 :
y = 32x^2 + -6 - 12
y = 32x^2 - 72
  1. Para k = 0 :
y = 32x^2 + 0 - 12
y = 32x^2 - 12
  1. Para k = 6 :
y = 32x^2 + 6 - 12
y = 32x^2 + 52

Passo 5

Cada uma dessas equações representa uma parábola que abre para cima (já que o coeficiente de x^2 é positivo). A diferença está na posição vertical de cada curva, que muda de acordo com o valor de k .

Passo 6

Para esboçar as curvas, podemos identificar os vértices de cada parábola:
  1. Para k = -6 :
    Vértice em (0, -72)
  2. Para k = 0 :
    Vértice em (0, -12)
  3. Para k = 6 :
    Vértice em (0, 52)

Passo 7

Com esses vértices e sabendo que as parábolas abrem para cima, podemos desenhar cada curva deslocando a parábola básica y = 32x^2 para cima ou para baixo conforme o valor de k .

Resposta

As curvas de nível da função f(x, y) = 1 - 3x^2 + 2y para os valores k = -6, 0, 6 são parábolas dadas por:
y = 32x^2 - 72 (k = -6)
y = 32x^2 - 12 (k = 0)
y = 32x^2 + 52 (k = 6)
Essas parábolas abrem para cima e estão posicionadas verticalmente conforme os valores de k .

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