Determine a equação característica para cada ED abaixo e encontre suas raízes:
y^prime prime prime-5 y^prime prime+3 y^prime+9 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de coeficientes constantes
y''' - 5y'' + 3y' + 9y = 0
e pede a equação característica e suas raízes. Para isso, usamos a proposta de solução do tipo y = e^rx, o que leva a uma equação algébrica em r.

Passo 2

Substituindo y=e^rx na equação, obtemos a equação característica
r^3 - 5r^2 + 3r + 9 = 0

Passo 3

Para encontrar raízes inteiras, testamos r=3:
3^3 - 5cdot3^2 + 3cdot3 + 9 = 27 - 45 + 9 + 9 = 0,
logo r=3 é uma raiz e (r-3) é fator do polinômio.

Passo 4

Fazendo a divisão de r^3 -5r^2 +3r +9 por (r-3), obtemos o quociente
r^2 - 2r - 3,
que satisfaz
r^2 - 2r - 3 = 0 Longrightarrow r = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm 42,
ou seja, r = 3 e r = -1.

Resposta

A equação característica é
r^3 - 5r^2 + 3r + 9 = 0,
e suas raízes são
r = 3 (mu<iplicidade 2), r = -1

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